transcendent tal
Transcendent tal, tal, der ikke er algebraisk, dvs. ikke er løsning til nogen algebraisk ligning med rationale koefficienter. Eksempler er grundtallet e for de naturlige logaritmer og π.
Transcendent tal, tal, der ikke er algebraisk, dvs. ikke er løsning til nogen algebraisk ligning med rationale koefficienter. Eksempler er grundtallet e for de naturlige logaritmer og π.
transcendente tal alle har samme, større kardinaltal \(\aleph\). Se også p-adisk tal. Historie Den historiske udvikling af talbegrebet har ikke fulgt de successive udvidelser ovenfor, specielt er negative tal en sen tilføjelse. Første skridt videre fra naturlige tal var
tal på de algebraiske tal, men ikke på de reelle tal (hvad der sikrer eksistensen af uendelig mange transcendente tal) (1873), og at der findes en bijektion af punkterne i et kvadrat på punkterne på en linje (1877). Hermed indledte
tal, så findes for hvert reelt tal \(\varepsilon > 0\) kun endelig mange brøker \(\frac{p}{q}\), således at \(|\theta −\frac{p}{q} | < \frac{1}{q^{2+\varepsilon}}\). Resultater om diofantiske approksimationer spiller en rolle i undersøgelser af transcendente
gælder \(e = 2,718281828459 ...\) . I 1873 viste Charles Hermite, at \(e\) er et transcendent tal. Tallene \(\pi\) (pi) og \(e\) er matematikkens to vigtigste konstanter. De indgår i formlen \(e^{i\pi}=-1\), der er et specialtilfælde af Eulers formel.
form samt Sturm-Liouville-teori i samarbejde med vennen Charles Sturm. Desuden bidrog han til mekanik, differentialgeometri og potentialteori og viste i 1844 eksistensen af transcendente tal. I 1836 grundlagde han Liouvilles journal, hvori han i 1846 udgav Galois' arbejder.
tal af formen ab er transcendente (et af Hilberts problemer) 1936 A.N. Turing udvikler begrebet Turingmaskine 1937 I. Vinogradov beviser, at ethvert tilstrækkeligt stort ulige tal er en sum af 3 ulige primtal (jf. Goldbachs formodning) 1940 K. Gödel beviser
tal er tal, som er løsning til en algebraisk ligning med rationale koefficienter; fx er \(\sqrt{5}\) et algebraisk tal. Det er dog ikke alle algebraiske tal, som kan udtrykkes ved rodtegn. De algebraiske tal udgør en numerabel mængde. Et tal, som ikke er algebraisk, kaldes transcendent
tal. I 1882 beviste den tyske matematiker Ferdinand Lindemann (1852-1939), at det endda er transcendent, dvs. ikke er rod i noget egentligt polynomium med rationale koefficienter. Heraf følger, at et linjestykke af længde \(\pi\) ikke lader sig konstruere med
tal af formen ab, fx (i 1934 viste den sovjetiske matematiker A.O. Gelfond (1906-68) og den tyske matematiker T. Schneider, at ab er transcendent, når a er algebraisk og forskellig fra 0 og 1, og b er algebraisk og