polynomium
og eksponenten \(i\) kaldes leddets grad. Idet leddene ordnes efter grad, får det almindelige polynomium formen \(f(x) = a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \dots +a_1x+a\). Nulpolynomiet er det polynomium, hvis koefficienter alle er nul.
og eksponenten \(i\) kaldes leddets grad. Idet leddene ordnes efter grad, får det almindelige polynomium formen \(f(x) = a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \dots +a_1x+a\). Nulpolynomiet er det polynomium, hvis koefficienter alle er nul.
polynomium, der stemmer overens med funktionen og evt. dens afledede i disse punkter, en såkaldt interpolation, fordi et polynomium af høj grad med foreskrevne værdier i jævnt fordelte punkter over intervallet altid foretager store udsving mellem disse. Det nytter heller
Et irreducibelt polynomium er et polynomium \(f\) af positiv grad, der kun har trivielle faktoriseringer, dvs. at det for enhver faktorisering \(f = g\cdot h\) gælder, at enten \(g\) eller \(h\) er en konstant.
polynomium, som interpolerer netop to gange i hvert af et antal specielt udvalgte punkter, nemlig nulpunkterne i et passende ortogonalt polynomium. Ekstrapolation Hvis interpolationspolynomiet anvendes uden for intervallet, som x-værdierne udspænder, kaldes processen ekstrapolation. Her er den umiddelbare tilnærmelse
polynomium, og der er direkte sammenhænge mellem gruppens struktur og polynomiets egenskaber. Fx er der en simpel gruppeteoretisk begrundelse for, at det ikke er muligt generelt at angive udtryk for rødderne i et polynomium af grad mindst fem, se også
polynomium. Multipliciteten angiver, hvor mange gange et tal er nulpunkt. Et tal \(x_0\) er nulpunkt af multiplicitet \(m=1,2,...\) for et polynomium \(f\), hvis der findes et polynomium \(g\), så \(f(x) = (x-x_0)^m g(x
polynomium. Hvis polynomiet \(f\) er af grad \(1\), udgør løsningerne en ret linje. For polynomier af grad \(2\) bliver løsningsmængden et keglesnit, altså typisk en ellipse, parabel eller hyperbel; for polynomier af højere grad fås mere komplicerede kurver. Tilsvarende bestemmes
polynomium \(H_k(x)\) af grad \(k\) i de 3 variable \(x=(x_1,x_2,x_3)\). På grund af homogeniteten kan man indskrænke sig til at betragte \(H_k\) på enhedssfæren \(S^2\) (kuglefladen med centrum i \((0,0,0)\) og
polynomium i én variabel med heltalskoefficienter, der for alle heltallige værdier af den variable giver et primtal. Et interessant resultat er, at der findes et polynomium \(f (x_1, ... ,x_{26})\) i \(26\) variable med heltalskoefficienter med den egenskab, at
er rødderne i et polynomium xn+a1xn-1+∙∙∙+an-1x+ an af grad n, så kan værdien F(t1,...,tn) udtrykkes som et polynomium i koefficienterne a1,...,an. Man kan altså bestemme værdien uden først at bestemme rødderne t1,...,tn.