ring (matematisk begreb)

Ring er et matematisk begreb, der opstod i slutningen af 1800-tallet ved studier inden for algebraisk geometri og algebraisk talteori udført af bl.a. R. Dedekind og D. Hilbert. Navnet skyldes sidstnævnte (1897). De hele tal Z er et eksempel på en ring. Generelt er en ring en algebraisk struktur R udstyret med en addition og en multiplikation, der sender elementer r og s fra R over i hhv. summen r+s og produktet rs i R, og som opfylder de regler, der kendes fra regning med tal: R er med + en kommutativ gruppe, mens multiplikationen er associativ og distributiv (dvs. for alle r, s og t i R gælder (rs)t = r(st), hhv. r(s+t) = rs+rt og (r+s)t = rt+st). Det neutrale element 0 ved additionen kaldes nul-elementet. Oftest kræves, at R har et såkaldt et-element 1, der er neutralt ved multiplikationen (dvs. 1r = r og r1 = r for alle r). I en kommutativ ring er multiplikationen kommutativ (dvs. rs = sr for alle r og s). For n ≥ 1 udgør n × n-matricerne en ring, der ikke er kommutativ for n > 1, se matrix.

Ringen R kaldes et integritetsområde, når den er kommutativ, 1 ≠ 0, og rs ≠ 0 for r ≠ 0 og s ≠ 0. Ethvert legeme er et integritetsområde, mens de hele tal Z udgør et integritetsområde, som ikke er et legeme. De ringe, der optræder i algebraisk talteori, er oftest Noetherske integritetsområder (jf. Noethersk ring); en del af dem er Dedekind-ringe, og nogle endda hovedidealområder, se ringteori. Ringene i algebraisk geometri er ofte Noetherske som en følge af Hilberts basissætning. En ring, der beskriver fx en kurves forløb i nærheden af et punkt, er en såkaldt lokal ring: Den har et ideal (en delmængde af ringen, der er en modul), som indeholder alle andre idealer undtagen ringen selv.