reelle tal

Reelle tal, det system af tal, som matematikken tilbyder som grundlag for en kvantitativ beskrivelse af virkeligheden.

Anvendeligheden af reelle tal ved målinger illustreres ofte ved en tallinje: svarende til tallene 0 og 1 vælges et begyndelsespunkt og et enhedspunkt på linjen; herefter svarer de reelle tal til punkterne på linjen. På linjen afsættes det rationale tal a/s ved a gange at afsætte det linjestykke, der fås ved at dele intervallet fra 0 til 1 i s lige store stykker. At der herefter på tallinjen efterlades "huller" mellem de rationale tal, dvs. punkter svarende til irrationale tal, blev allerede opdaget før vor tidsregning af græske matematikere. De viste fx, at , der er længden af diagonalen i enhedskvadratet, ikke svarer til et rationalt tal.

De reelle tal, både rationale og irrationale, kan repræsenteres ved (uendelige) decimalbrøker. Fx modsvarer decimalfremstillingen 1,732... af, at man kan komme til på tallinjen ved først at afsætte punktet svarende til 1, dernæst 7 gange et stykke af længde ¹/₁₀, dernæst 3 gange et stykke af længde ¹/₁₀₀, dernæst 2 gange et stykke af længde ¹/₁₀₀₀ osv. Denne uendelige proces er naturligvis et teoretisk tankespind, og det skal understreges, at i praksis, ved målinger og beregninger på computer, repræsenteres reelle tal ved tilnærmede rationale værdier.

Med sædvanlig addition og multiplikation udgør de reelle tal et legeme, betegnet R. Dette legeme er, med sædvanlig ordning, et kontinuum, dvs. et område uden huller. Denne helt fundamentale egenskab ved de reelle tal betyder, at enhver Cauchyfølge af reelle tal er konvergent.

De reelle tal er det teoretiske fundament for matematiske begreber som kontinuert funktion og grænseværdi og dermed for differential- og integralregning, men fundamentet er udviklet langt senere end de afledte begreber. En egentlig konstruktion af de reelle tal blev først givet i anden halvdel af 1800-t. af K. Weierstrass, G. Cantor og R. Dedekind.