kvotientgruppe

En kvotientgruppe er i matematik en gruppe, der generaliserer begrebet kongruens mellem hele tal til elementer i en vilkårlig gruppe.

Kvotientgruppen \(G/H\) for en gruppe \(G\) med hensyn til en normal undergruppe \(H\) (dvs. en undergruppe \(H\), hvor \(g\cdot h\cdot g^{-1} \in H \) for alle \(h \in H \) og \(g\in G\)) fås ved at identificere elementer \(g_1, g_2\) i \(G\), der kun afviger med et element i \(H: g_1 = h\cdot g_2\). Kvotientgruppen \(G/H\) består således af ækvivalensklasserne svarende til ækvivalensrelationen \(\sim\) i \(G\) defineret ved \(g_1 \sim g_2\), netop når \(g_1^1\cdot g_2 \in H\). Disse ækvivalensklasser udgør en gruppe, idet kompositionen af to ækvivalensklasser \(A\) og \(B\) defineres som den entydigt bestemte ækvivalensklasse, der indeholder \(a\cdot b\), hvor \(a \in A\) og \(b\in B\).

Er \(G\) de hele tals additive gruppe, og \(H\) undergruppen bestående af multipla af et naturligt tal \(n\), bliver \(G/H\) den additive gruppe af restklasser modulo \(n\) (jf. kongruens).