kvaternioner

Kvaternioner er en udvidet form for "tal", der kan opfattes som 4-sæt af reelle tal \((a,b,c,d)\), dvs. vektorer i det firedimensionale talrum \(\mathbb{R}^4\), når man ud over den sædvanlige sum af vektorer betragter det såkaldte kvaternionprodukt, der gør det muligt at gange to vektorer sammen med en tredje som resultat. For kvaternioner gælder de samme regneregler som for reelle og komplekse tal, bortset fra at multiplikationen ikke er kommutativ.

En alternativ måde at repræsentere en kvaternion på er som et udtryk af formen \(a1+bi+cj+dk\). Ved regning med kvaternioner opfattes kvaternioner af formen \(a1\) som reelle tal, og produktet af to kvaternioner er fastlagt af ligningerne \(i^2=j^2=k^2=ijk=-1\). Heraf kan fx udledes, at \(ij = −ji = k\).

Kvaternionerne blev opdaget af W.R. Hamilton i 1843. Han opfattede komplekse tal \(a+ib\) som par \((a,b)\) af reelle tal og ledte forgæves efter et produkt af 3-sæt \((a,b,c)\) med egenskaber svarende til produktet af komplekse tal. Det blev vist af F.G. Frobenius (1849-1917) i 1878, at et sådant produkt af \(n\)-sæt (\(a_1, ... , a_n\)) kun findes for \(n = 1, 2\) og \(4\).