diofantisk ligning

En diofantisk ligning er en ligning, der undersøges med henblik på at bestemme heltalsløsninger eller løsninger, der er rationale tal. Der findes ingen generelle løsningsmetoder. For specielle klasser af diofantiske ligninger er det dog muligt at angive samtlige løsninger.

I de følgende eksempler betragtes udelukkende løsninger, der er positive, hele tal. Førstegradsligningen \(ax−by = 1\) har løsninger, hvis og kun hvis tallene \(a\) og \(b\) er primiske. Pells ligning, \(x^2-Dy^2 = 1\), hvor tallet \(D > 0\) ikke er et kvadrat, har altid uendelig mange løsninger. Ligningen \(x^3 = y^2+2\) har kun den ene løsning \((x,y) = (3,5)\). Ligningen \(x^2+y^2 = z^2\) har uendelig mange løsninger (såkaldte pythagoræiske talsæt eller taltripler). Fx er \(3^2+4^2 = 5^2, 5^2+12^2 = 13^2\) og \(8^2+15^2 = 17^2\).

Fermat påstod, at den diofantiske ligning \(x^n+y^n=z^n\), hvor \(n \geq 3\), kaldet Fermats store sætning, ikke har løsninger. Selv beviste Fermat resultatet for \(n = 4\). Det almindelige resultat blev vist af A. Wiles i 1994. Se også algebraisk geometri.