algebraisk geometri

Som i geometri generelt søges i algebraisk geometri en klassifikation af de betragtede figurer. En grov opdeling fås ved at gruppere figurerne efter deres dimension. Intuitivt har et punkt dimensionen \(0\), en kurve dimensionen \(1\) og en flade dimensionen \(2\). For de fleste punkter \(P\) på en \(d\)-dimensional mangfoldighed vil der gælde, at punkterne nær ved \(P\) på mangfoldigheden kan fastlægges entydigt ved sæt \((t_1,...,t_d)\) af \(d\) tal. I så fald siges mangfoldigheden at være glat i punktet \(P\). Et punkt, hvori mangfoldigheden ikke er glat, kaldes et singulært punkt. De singulære punkter udgør selv en algebraisk mangfoldighed, og det vil typisk være de singulære punkter, der springer i øjnene ved et billede af mangfoldigheden. På algebraiske kurver vil de singulære punkter være de punkter, hvor kurven knækker eller skærer sig selv.

Det er vigtigt i algebraisk geometri også at inddrage komplekse løsninger til de givne ligninger, dvs. løsninger \((x_1,...,x_n)\), hvor koordinaterne \(x_j\) er komplekse tal. Se Hilberts nulpunktssætning. Det skal understreges, at den reelle dimension af mangfoldighederne herved bliver den dobbelte af den algebraiske dimension. En algebraisk kurve er geometrisk set en flade, og en algebraisk flade er geometrisk set et fire-dimensionalt rum.

I algebraisk geometri betragtes ofte mere generelle mangfoldigheder, som blot lokalt forudsættes at kunne beskrives som de fælles nulpunkter for endelig mange polynomier. Fx udgør nulpunkterne for givne homogene polynomier en algebraisk mangfoldighed i et projektivt rum. Medregnes komplekse løsninger, er de projektive algebraiske kurver uden singulære punkter i geometrisk forstand flader; de kaldes også Riemann-flader. Geometrisk set fremkommer disse flader ved at tilføje et antal hanke på en kugle; antallet af hanke kaldes genus af den algebraiske kurve.

Det er et særkende ved algebraisk geometri, at visse samlinger af figurer på naturlig måde selv udgør en algebraisk mangfoldighed. Fx kan mængden af keglesnit i planen betragtes som en algebraisk mangfoldighed af dimension \(5\). Ved at undersøge denne mangfoldighed viste M. Chasles (1864), at hvis der er givet \(5\) keglesnit i planen, vil der i almindelighed være \(3264\) keglesnit, der tangerer alle de fem givne. Antallet i sig selv er uinteressant, men metoderne, der leder til bestemmelse af antallet, er centrale i den gren af algebraisk geometri, som kaldes enumerativ geometri. Et fundamentalt resultat her er E. Bezouts (1739-1783) sætning, ifølge hvilken antallet af skæringspunkter for to plane algebraiske kurver givet ved to polynomier i almindelighed er lig med produktet af polynomiernes grader.

Metoder fra algebraisk geometri indgår også i undersøgelsen af ligninger, hvor man primært er interesseret i løsninger, der er hele eller rationale tal. Således udsiger Fermats sidste sætning, at for et naturligt tal \(p\geq 3\) har ligningen \(x^p+y^p = z^p\) ingen løsninger \((x,y,z)\), hvor \(x\), \(y\) og \(z\) er naturlige tal. Ækvivalent betyder dette, at der på den algebraiske kurve med ligningen \(x^p+y^p = 1\) ikke findes punkter \((x,y)\), hvor begge koordinater er positive rationale tal. G. Faltings viste i 1983, at der på denne kurve og en række beslægtede kurver kun findes endelig mange punkter, hvis koordinater er rationale tal. A. Wiles annoncerede i juni 1993 et bevis for Fermats sidste sætning.