• Artiklens indhold er godkendt af redaktionen

algebraisk geometri

Oprindelig forfatter AnTh Seneste forfatter Redaktionen

Algebraisk geometri.

Algebraisk geometri.

algebraisk geometri, undersøgelse af de geometriske figurer, der fremkommer som løsningsmængde til et system af algebraiske ligninger. Figurerne kan være algebraiske kurver eller flader. De mere generelle figurer kaldes også algebraiske mangfoldigheder.

En algebraisk kurve i planen er således bestemt som mængden af punkter, hvis koordinater (x,y) er løsninger til en ligning af formen f(x,y) = 0, hvor f er et givet polynomium. Hvis polynomiet f er af grad 1, udgør løsningerne en ret linje. For polynomier af grad 2 bliver løsningsmængden et keglesnit, altså typisk en ellipse, parabel eller hyperbel; for polynomier af højere grad fås mere komplicerede kurver. Tilsvarende bestemmes en algebraisk flade i rummet af ligningen g(x,y,z) = 0, hvor g er et polynomium; et system af to sådanne ligninger bestemmer typisk en algebraisk rumkurve.

Det generelle system indeholder k ligninger af formen fi(x1,...,xn) = 0 svarende til polynomierne f1,...,fk i n variable. Løsningsmængden, der altså består af de fælles nulpunkter (x1,...,xn) for polynomierne fi, kaldes en affin algebraisk mangfoldighed. Algebraiske mangfoldigheder indgår i en række områder inden for matematikken og fysikken, fx i gaugeteori, superstrengteori, kryptologi og robotteknik.

Annonce

Dimension

Som i geometri generelt søges i algebraisk geometri en klassifikation af de betragtede figurer. En grov opdeling fås ved at gruppere figurerne efter deres dimension. Intuitivt har et punkt dimensionen 0, en kurve dimensionen 1 og en flade dimensionen 2. For de fleste punkter P på en d-dimensional mangfoldighed vil der gælde, at punkterne nær ved P på mangfoldigheden kan fastlægges entydigt ved sæt (t1,...,td) af d tal. I så fald siges mangfoldigheden at være glat i punktet P. Et punkt, hvori mangfoldigheden ikke er glat, kaldes et singulært punkt. De singulære punkter udgør selv en algebraisk mangfoldighed, og det vil typisk være de singulære punkter, der springer i øjnene ved et billede af mangfoldigheden. På algebraiske kurver vil de singulære punkter være de punkter, hvor kurven knækker eller skærer sig selv.

Komplekse løsninger

Det er vigtigt i algebraisk geometri også at inddrage komplekse løsninger til de givne ligninger, dvs. løsninger (x1,...,xn), hvor koordinaterne xj er komplekse tal. Se Hilberts nulpunktssætning. Det skal understreges, at den reelle dimension af mangfoldighederne herved bliver den dobbelte af den algebraiske dimension. En algebraisk kurve er geometrisk set en flade, og en algebraisk flade er geometrisk set et fire-dimensionalt rum.

Projektive mangfoldigheder

I algebraisk geometri betragtes ofte mere generelle mangfoldigheder, som blot lokalt forudsættes at kunne beskrives som de fælles nulpunkter for endelig mange polynomier. Fx udgør nulpunkterne for givne homogene polynomier en algebraisk mangfoldighed i et projektivt rum. Medregnes komplekse løsninger, er de projektive algebraiske kurver uden singulære punkter i geometrisk forstand flader; de kaldes også Riemann-flader. Geometrisk set fremkommer disse flader ved at tilføje et antal hanke på en kugle; antallet af hanke kaldes genus af den algebraiske kurve.

Enumerativ geometri

Det er et særkende ved algebraisk geometri, at visse samlinger af figurer på naturlig måde selv udgør en algebraisk mangfoldighed. Fx kan mængden af keglesnit i planen betragtes som en algebraisk mangfoldighed af dimension 5. Ved at undersøge denne mangfoldighed viste M. Chasles (1864), at hvis der er givet 5 keglesnit i planen, vil der i almindelighed være 3264 keglesnit, der tangerer alle de fem givne. Antallet i sig selv er uinteressant, men metoderne, der leder til bestemmelse af antallet, er centrale i den gren af algebraisk geometri, som kaldes enumerativ geometri. Et fundamentalt resultat her er E. Bezouts (1739-83) sætning, ifølge hvilken antallet af skæringspunkter for to plane algebraiske kurver givet ved to polynomier i almindelighed er lig med produktet af polynomiernes grader.

Diofantiske ligninger

Metoder fra algebraisk geometri indgår også i undersøgelsen af ligninger, hvor man primært er interesseret i løsninger, der er hele eller rationale tal. Således udsiger Fermats sidste sætning, at for et naturligt tal p≥3 har ligningen xp+yp = zp ingen løsninger (x,y,z), hvor x, y og z er naturlige tal. Ækvivalent betyder dette, at der på den algebraiske kurve med ligningen xp+yp = 1 ikke findes punkter (x,y), hvor begge koordinater er positive rationale tal. G. Faltings viste i 1983, at der på denne kurve og en række beslægtede kurver kun findes endelig mange punkter, hvis koordinater er rationale tal. A. Wiles annoncerede i juni 1993 et bevis for Fermats sidste sætning.

Referér til denne tekst ved at skrive:
Anders Thorup: algebraisk geometri i Den Store Danske, Gyldendal. Hentet 19. november 2017 fra http://denstoredanske.dk/index.php?sideId=35749