Redaktion og opdatering af indholdet på denstoredanske.dk er indstillet pr. 24. august 2017. Artikler og andet indhold er tilgængeligt i den form, der var gældende ved redaktionens afslutning.

  • Artiklens indhold er godkendt af redaktionen

algebra

Oprindelig forfatter BiIv Seneste forfatter Redaktionen

Algebra. Et eksempel på en abstrakt gruppe, illustreret ved et maurisk tapet, hvor der tillades forskellige former for symmetri: parallelforskydning, rotation, spejling og glidespejling. Symmetrierne af tapetet danner en såkaldt tapetgruppe. Det vides, at antallet af sådanne tapetgrupper er 17, hvilket er i overensstemmelse med et empirisk resultat fra maurisk billedkunst.

Algebra. Et eksempel på en abstrakt gruppe, illustreret ved et maurisk tapet, hvor der tillades forskellige former for symmetri: parallelforskydning, rotation, spejling og glidespejling. Symmetrierne af tapetet danner en såkaldt tapetgruppe. Det vides, at antallet af sådanne tapetgrupper er 17, hvilket er i overensstemmelse med et empirisk resultat fra maurisk billedkunst.

algebra, bogstavregning, en gren af matematikken. De primære begreber i bogstavregning er addition og multiplikation: Med udgangspunkt i to tal a og b kan vi danne to nye tal, summen a+b og produktet a∙b. De sekundære operationer er differensen b-a, der er løsningen til ligningen a+x = b, og brøken b/a, der er løsningen til ligningen x∙a = b (a≠0). Reglerne for manipulation med disse symboler udgør den elementære algebra. Den praktiske udførelse af disse operationer kaldes regning (aritmetik).

Algebra adskiller sig fra regning ved at være forsynet med et sprog, i hvilket vi kan operere med tal uden at kende deres præcise værdi. Herved sættes vi ofte i stand til at nedskrive en eller flere ligninger, hvis løsning fører til bestemmelse af et søgt tal.

Udviklingen fra elementær algebra til abstrakt algebra eller moderne algebra hænger sammen med talbegrebets udvikling: fra hele tal, rationale tal, reelle tal til komplekse tal, kvaternioner og p-adiske tal. Abstrakt algebra har udviklet sig i lyset af, at det har vist sig principielt umuligt at konstruere et talbegreb, der er tilstrækkeligt omfattende.

Annonce

Ordet algebra er latin, af arabisk al-jabr 'genforeningen'.

I abstrakt algebra beskæftiger man sig med kompositionsregler, dvs. operationer, der ud fra to elementer m og n af en given art konstruerer et nyt element m∘n af samme art (se algebraisk struktur). Disse operationer vil være underlagt regler analoge til dem, vi kender fra sædvanlig addition eller multiplikation, mens naturen af de elementer, vi komponerer, er ubestemt. En væsentlig grund til dette er, at de manipulerede objekter kan være så komplicerede, at det er nødvendigt at frigøre sig fra irrelevante egenskaber for at skabe overblik og dermed mulighed for analogi.

Et grundtema i algebra er repræsentationen af et algebraisk system som operatorer på forskellige geometriske systemer. Et simpelt og velkendt eksempel er operationen af de sædvanlige hele tal på et matadorbræt: et tal n og en position r (rød bil) komponeres til en ny position n∗r (r flyttes n pladser frem). Denne operation opfylder

(n+m)∗r = m∗(n∗r), en velkendt erfaring gjort af enhver, der har spillet matador med to terninger. Se også repræsentationsteori.

I algebra som i al anden matematik er der en dualitet mellem den generelle teori og konkrete, enestående objekter. Dette kan bedst udtrykkes ved analogi med geometri, der på den ene side indeholder generelle regler, fx den pythagoræiske læresætning, og på den anden side fx de fem regulære polyedre: tetraeder, hexaeder, oktaeder, dodekaeder og ikosaeder.

Undertiden kan sådanne sjældne eller enestående objekter i algebra beskrive objekter fra den fysiske virkelighed: Symmetrierne af en fysisk krystal kan sammensættes, hvorved der opstår en gruppe. Det er et resultat fra algebraen, at der findes i alt 219 sådanne krystallografiske grupper, hvilket på den anden side er det samme som antallet af fysiske krystalformer. Dette er bemærkelsesværdigt i lyset af, at algebraen ikke indeholder nogen form for antagelse om naturens orden. Lignende eksempler kan findes i kemi, atomfysik og kvantemekanik.

Algebra anvendes i alle grene af geometri, specielt algebraisk geometri og algebraisk topologi; man kan karakterisere algebra som geometriens bogholder.

Algebraens formsprog er en direkte forudsætning for it, der på den anden side selv har stimuleret udviklingen af nyere grene af algebra, såsom kodningsteori og kryptografi.

Algebraens historie

Den tidlige algebras historie kan ikke skilles fra matematikkens historie i øvrigt. Således vandrede algebraen fra Babylonien til antikkens Grækenland, hvorfra vi kender Euklids Elementer fra ca. 300 f.Kr. og Arithmetica af Diofant fra ca. 200 e.Kr.

I takt med udbredelsen af en islamisk kultur flyttedes algebraens tyngdepunkt til den arabiske verden. Ordet algebra (al-jabr) er således afledt af udtrykket al-jabr wa-al-muqabala, som forekommer i titlen på den første arabiske bog om algebra skrevet af al-Khwarizmi i Baghdad ca. 825 e.Kr.

I de følgende århundreder bredte algebraen sig til Italien, bl.a. gennem L. FibonaccisLiber abaci fra 1202. I italiensk renæssance kulminerede algebraen med Cardanos formel (Ars magna 1545) for løsninger til en tredjegradsligning samt med metoder til at finde løsninger til en fjerdegradsligning. Problemet med at finde løsninger til en femtegradsligning forblev åbent indtil fremkomsten af gruppeteorien. E. Galois og N.H. Abel gav teorien for algebraiske ligninger med én variabel en form, der er meget tæt på den, vi har i dag.

Moderne algebraisk talteori blev skabt af P. de Fermat, L. Euler, J.L. Lagrange og A.M. Legendre. Fermat var den første til at overskride niveauet sat i Diofants Arithmetica; disse fire matematikere opstillede de problemer, der skulle danne kernen i moderne algebraisk talteori, som den udviklede sig i det følgende århundrede fra C.F. Gauss over P.G.L. Dirichlet og L. Kronecker til J.W.R. Dedekind. Udviklingen af fysikkens vektorbegreb har været en hovedkilde til den lineære algebra; denne fik i 1844 et vigtigt manifest i H.G. Grassmanns Die lineale Ausdehnungslehre, som indeholdt en definition på et abstrakt vektorrum samt en konstruktion af den "ydre" algebra. Vigtige eksempler på ikke-kommutativ multiplikation blev opdaget af W.R. Hamilton (1843), A. Cayley (1845) og W.K. Clifford (1878).

I 1800-t. gennemgik geometrien en revolutionerende udvikling, der medførte en mængde publikationer om algebra. Århundredet sluttede med omfattende algebraiske landvindinger ved F. Klein, H. Poincaré og M.S. Lie. Da år 1900 rundedes, var den moderne algebra født.

Referér til denne tekst ved at skrive:
Birger Iversen: algebra i Den Store Danske, Gyldendal. Hentet 17. oktober 2019 fra http://denstoredanske.dk/index.php?sideId=35746