Warings problem

Problemet består af to dele: 1) at bevise, at der for ethvert naturligt tal \(n\) findes et helt tal \(g(n)\), således at ethvert naturligt tal kan skrives som en sum af \(g(n)\) \(n\)-te potenser af ikke-negative hele tal, mens der findes et naturligt tal, som ikke er sum af \((g(n)-1)\) \(n\)-te potenser; 2) eksplicit at bestemme \(g(n)\) for ethvert \(n\). I 1909 beviste Hilbert udsagnet i 1). Angående 2) viste allerede Lagrange, at \(g(2) = 4\) (1770). I 1912 blev det bevist, at \(g(3) = 9\), i 1986, at \(g(4) = 19\), og i 1964, at \(g(5) = 37\). Alment er det kendt, at for \(n \leq 471.600.00\) er \(g(n) = 2^n-2+A(n)\), hvor \(A(n)\) er det største heltal, der er mindre end \((3/2)^n\). Det er endnu ukendt, om denne formel gælder for alle værdier af \(n\).