Fermats store sætning

Fermats store sætning er en påstand om, at ligningen \(x^n+y^n=z^n\), hvor \(x\), \(y\) og \(z\) er hele tal forskellige fra \(0\), og eksponenten \(n\) er et helt tal større end \(2\), ikke har nogen løsninger.

Pierre de Fermat viste dette for \(n=4\) og angav i en marginalnote (senere udgivet af hans søn), at han havde et bevis for, at ligningen ikke havde løsninger for \(n>2\). Da ethvert helt tal større end \(2\) er deleligt enten med \(4\) eller med et ulige primtal, er det på grund af ovenstående ingen indskrænkning at antage, at eksponenten \(n\) er et ulige primtal.

Euler beviste Fermats store sætning for \(n=3\). Det første mere generelle resultat skyldes den tyske matematiker E. Kummer, der viste Fermats store sætning for en række primtal, der bl.a. omfattede alle primtal mindre end \(100\). Kummers undersøgelser beroede på en fundamental videreudvikling af algebraisk talteori med særligt henblik på cirkeldelingslegemer, der fik afgørende betydning for mange andre grene af matematikken. Ved videreførelse af Kummers teori blev Fermats store sætning, med hjælp af computere, godtgjort for alle eksponenter mindre end \(10^6\).

Først i 1993-94 lykkedes det A. Wiles at bevise Fermats store sætning for enhver eksponent større end \(2\). Beviset beror på overordentlig dybtliggende undersøgelser af den aritmetiske teori for elliptiske kurver.