Metamatematik er filosofiske overvejelser, der har matematik og matematiske teorier som genstand. Metamatematik bruges både bredt om forhold, der vedrører undervisningen i matematik, matematiks anvendelser, hvor andre muligheder findes, fx matematisk økonomi i modsætning til sprogligt formuleret økonomi, og matematiks rolle i kulturen, og snævert om logiske betragtninger, der gør de matematiske teorier til genstand for overvejelserne. I sidstnævnte tilfælde taler man om en metateori, der udsiger sætninger om en objektteori.
metamatematik
Logisk versus semantisk sande sætninger
Betragter man en teori, der som genstand for sine sætninger har objekter som fx tal, kan sætningerne i teorien være sande på to måder: En sætning er beviselig, hvis den kan udledes af aksiomerne ved den givne logiske kalkule, altså ved logisk slutning. Men en sætning kan også være sand, hvis sætningens påstand gælder i enhver model, der opfylder aksiomerne. I så fald kaldes sætningen semantisk sand. Det er en metateoretisk kendsgerning, at alle logisk sande sætninger også er semantisk sande. Derimod har K. Gödel bevist, at i en teori, der er mindst så omfattende som teorien for de naturlige tal, findes der semantisk sande sætninger, som ikke kan udledes af aksiomerne ved logiske slutninger.
Kommentarer
Kommentarer til artiklen bliver synlige for alle. Undlad at skrive følsomme oplysninger, for eksempel sundhedsoplysninger. Fagansvarlig eller redaktør svarer, når de kan.
Du skal være logget ind for at kommentere.