Redaktion og opdatering af indholdet på denstoredanske.dk er indstillet pr. 24. august 2017. Artikler og andet indhold er tilgængeligt i den form, der var gældende ved redaktionens afslutning.

  • Artiklens indhold er godkendt af redaktionen

matematik (filosofi og grundlag)

Oprindelig forfatter SAPe Seneste forfatter Redaktionen

Matematik. Er det muligt at farvelægge et vilkårligt landkort med fire farver, så to stater, der støder op til hinanden, ikke får samme farve? Svaret er ja. Beviset for dette firefarve-problem blev givet i 1976 og bestod i at reducere problemet til en lang række specialtilfælde, der blev afprøvet af en computer. Brugen af computere til at bevise matematiske sætninger vakte en del diskussion blandt matematikere, da tekniske spørgsmål som fx programmeringsfejl kan gøre bevisførelsen svær at efterprøve. Efter fremkomsten af et mindre kompliceret computerbevis i 1994 er beviset for firefarve-problemet dog blevet almindelig accepteret.

Matematik. Er det muligt at farvelægge et vilkårligt landkort med fire farver, så to stater, der støder op til hinanden, ikke får samme farve? Svaret er ja. Beviset for dette firefarve-problem blev givet i 1976 og bestod i at reducere problemet til en lang række specialtilfælde, der blev afprøvet af en computer. Brugen af computere til at bevise matematiske sætninger vakte en del diskussion blandt matematikere, da tekniske spørgsmål som fx programmeringsfejl kan gøre bevisførelsen svær at efterprøve. Efter fremkomsten af et mindre kompliceret computerbevis i 1994 er beviset for firefarve-problemet dog blevet almindelig accepteret.

Matematikken har altid fascineret filosoffer, fordi matematisk sandhed synes at være af en speciel natur. Matematiske resultater begrundes ikke ud fra observation eller eksperiment, de bevises. Endvidere behandler matematikken objekter, som ikke findes i naturen, men som alligevel synes at være virkelige. Således findes tallet π ikke på samme måde som et bord, men er dog virkeligt, idet π udtrykker det konstante forhold mellem omkredsen af en cirkel og diameteren. Dette er en universel geometrisk sandhed, som gælder helt uafhængigt af mennesket som tænkende væsen.

Matematikkens fundamentale aksiomer blev indtil 1800-t. betragtet som selvindlysende sandheder. Opdagelsen af de ikke-euklidiske geometrier kort efter Kants død gjorde imidlertid, at geometriens aksiomer ikke længere kunne betragtes som selvindlysende. I begyndelsen af 1900-t. førte mængdelæren til egentlige logiske paradokser, og det blev vist, at mængdelæren hvilede på aksiomer, som krævede særlige begrundelser. Matematikken stod derfor uden sikker begrundelse. Dette førte til de klassiske grundlagsskoler, som på hver deres måde forsøgte at give matematikken et sikkert grundlag: logicismen, intuitionismen og formalismen.

Logicisme

I begyndelsen af 1900-t. blev det erkendt, at mængdelæren var en meget stærk og generel teori, hvori andre matematiske teorier kunne formuleres. Dette gav anledning til det logicistiske program, udviklet af især B. Russell, hvor man først reducerede de matematiske teorier til mængdelære og derefter formulerede mængdelæren i den netop udviklede matematiske logik. På denne måde mente man, at matematikken i sidste ende kunne reduceres til logik; matematiske sætninger ville således vise sig at være logiske sandheder. Logicismen var imidlertid ikke gennemførlig, idet det viste sig, at mange af mængdelærens aksiomer ikke var af logisk natur. Fx er uendelighedsaksiomet, som hævder eksistensen af uendelige mængder, ikke en logisk nødvendighed.

Annonce

Intuitionisme

Mange matematikere reagerede kraftigt på det logicistiske program. L.E.J. Brouwer, der grundlagde den intuitionistiske skole, tog som udgangspunkt, at matematikken er en fri aktivitet, som ikke er underlagt logikken. Logikken kan højst bruges til at formulere allerede opnåede resultater på en præcis måde. Brouwer så matematikkens problemer i, at man benyttede metoder, som gik ud over det konstruktive. Et reelt tal som π er i virkeligheden et uendeligt objekt, nemlig en uendelig decimalbrøk. For Brouwer giver det ikke mening at tale om uendelige objekter som totaliteter, men kun som processer; π er derfor givet som en metode til at beregne flere og flere decimaler i π. Hvis man begrænser matematikken til det, der kan opnås konstruktivt, vil de forskellige logiske vanskeligheder forsvinde. Intuitionismen er på mange måder filosofisk tilfredsstillende. Problemet er blot, at store dele af moderne matematik må opgives, og logikken må revideres, hvis man accepterer den. Det er derfor ikke en populær position blandt filosoffer eller matematikere.

Formalisme

Den tredje grundlagsskole, formalismen, blev udviklet af Hilbert. Grundtanken er her, at anvendelse af moderne ikke-konstruktive metoder har ført til resultater, som gerne skulle bevares. Det er karakteristisk for moderne matematiske metoder, at man indfører nye, ofte problematiske objekter, som imidlertid fører til nye, værdifulde resultater. Disse nye objekter eksisterer ikke i egentlig forstand, men er ideale objekter af stor betydning for matematiske teorier. Det eneste, man kan forlange, er, at disse nye objekter ikke fører til logiske paradokser. For at sikre matematikkens modsigelsesfrihed forsøgte Hilbert at formulere alle matematiske beviser i et formelt logisk sprog. På denne måde kunne beviser betragtes som manipulationer med formelle tegn efter simple regler. Hilbert forsøgte så at vise, at sådanne formelle kalkuler ikke kunne lede til modsigelser. Imidlertid viste Gödels ufuldstændighedssætninger, at programmet ikke kan gennemføres.

Sammenfatning

Selvom de klassiske grundlagsskoler alle har ført til nye matematiske teorier, har ingen af dem ført til en tilfredsstillende filosofisk begrundelse af matematikken. I dag er holdningen blandt mange filosoffer og matematikere, at det ikke er muligt at give matematikken et fuldstændig sikkert grundlag. Matematikken må som andre videnskaber leve med et usikkert fundament. Den beskæftiger sig med generelle strukturer og objekter, som ofte abstraheres ud fra anvendelser i andre fag. Teorier om disse strukturer kan med stor fordel formuleres aksiomatisk. Men der findes ingen sikker metode til at bevise deres modsigelsesfrihed. Med hensyn til naturen af de abstrakte matematiske genstande findes der i dag mange forskellige synspunkter spændende fra at opfatte dem som eksisterende i en uafhængig begrebslig verden til, at de blot er konventioner.

Læs mere om matematik.

Referér til denne tekst ved at skrive:
Stig Andur Pedersen: matematik (filosofi og grundlag) i Den Store Danske, Gyldendal. Hentet 18. november 2018 fra http://denstoredanske.dk/index.php?sideId=122846