binomialkoefficient | lex.dk – Den Store Danske

Binomialkoefficienten er koefficienten til \(x^k\) i binomialformlen for\((1+x)^n\). Der gælder

Faktaboks

Også kendt som: n over k

\[\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\ldots\cdot(n-k+1)}{1\cdot2\cdot3\cdot\ldots\cdot k}\]

I kombinatorik og sandsynlighedsregning fortolkes binomialkoefficienten som antallet af måder, hvorpå der kan udtages \(k\) elementer af en mængde med \(n\) elementer. Binomialkoefficienterne optræder i utallige formler, hvoraf den simpleste er binomialformlen og den vigtigste Chu-Vandermondes formel. På grund af den vigtige formel

\[\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}\]

kan binomialkoefficienterne opstilles i et uendeligt mønster, også betegnet Pascals trekant.

Pascals trekant

Den franske matematiker og filosof Blaise Pascal opstillede binomialkoefficienter i et skema, hvor hvert tal i skemaets indre er summen af de to tal, der står skråt oven over til højre og venstre. Skemaet kaldes Pascals trekant, og det kan vises, at der gælder \(\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}\), fx \(\binom{5}{3}=\binom{4}{2}+\binom{4}{3}=4+6=10\).

Tallene i Pascals trekant optræder i udviklingen af potenser af toleddede størrelser, den såkaldte binomialformel. Fx er \((a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4\)

Hvis man i disse formler sætter \(a=1\) og \(b=1\) får man \[2^2=1+2+1\] \[2^3=1+3+3+1\] \[2^4=1+4+6+4+1\] \[osv.\]

Der gælder altså, at summen af binomialkoefficienterne i den n'te række af Pascals trekant netop er \(2^n\).

Læs mere i Den Store Danske

Kommentarer

Kommentarer til artiklen bliver synlige for alle. Undlad at skrive følsomme oplysninger, for eksempel sundhedsoplysninger. Fagansvarlig eller redaktør svarer, når de kan.

Du skal være logget ind for at kommentere.