numerisk analyse

I den numeriske analyse ønsker man sig dels effektive metoder til at finde tilnærmede værdier (se approksimation), fx ti decimaler af tallet \(\pi\( eller en løsning til en differentialligning, dels gode vurderinger af de fejl, der uundgåeligt er forbundet med regning med tilnærmede værdier. Fx ønsker man at vide, om en lille fejl på begyndelsesbetingelserne i en differentialligning også kun giver en lille fejl på den tilnærmede løsning. Modeller, hvor dette ikke er tilfældet, kan være umulige at løse numerisk (se kaos).

Et grundlæggende problem i anvendt matematik er løsningen af et lineært ligningssystem. Et sådant system af \(n\) ligninger med \(n\) ubekendte kan sammenfattes i matrixligningen \(Ax=y\), hvor \(A\) er en \(n\times n\)-matrix, og \(x\) og \(y\) er søjlevektorer (se matrix). Der findes forskellige metoder til at få et løsningsforslag \(x'\), fx den såkaldte Gauss' eliminationsmetode. Ved at gøre prøve (indsætte i ligningen) fås en tilnærmelse til højre side af ligningen: \(Ax'=y'\). Afvigelsen \(r = y-y'\) kaldes residuet eller resten. Ud fra residuet kan fejlen \(x-x'\) på løsningsforslaget vurderes vha. konditionstallet, der giver en øvre grænse for størrelsen af fejlen. Resultatet kan forbedres ved at anvende den samme løsningsmetode på ligningen \(A(x-x') = r\). Derved bliver metoden et eksempel på en iterativ metode. Sådanne metoder, der ved gentagelse giver successive forbedringer, spiller en stor rolle i numerisk analyse. Også problemet med at finde en matrices egenværdier kan løses iterativt. Numeriske løsninger af problemer som disse inden for lineær algebra finder udbredt anvendelse også ved løsning af andre problemer. Der er udviklet en række effektive standardrutiner til disse formål.

Ved løsning af ikke-lineære ligninger \(f(x) = 0\) benyttes iterative metoder også. En af de mest anvendte metoder, hvis funktionen \(f\) er differentiabel, er Newtons, der består i at iterere funktionen \(g(x) = x-f(x)/f'(x)\) ud fra et givet begyndelsespunkt \(x_0\). Et fikspunkt \(x^*\) for \(g\) (dvs. et punkt, der opfylder \(g(x^*) = x^*\)) vil også være et nulpunkt for \(f\). Hvis man begynder iterationen i nærheden af et fikspunkt, vil den hurtigt konvergere hen mod det. Metoden kan generaliseres til flere variable, men så bliver differentialkvotienten en matrix, og man skal løse et lineært ligningssystem i hvert skridt af iterationen. Der findes utallige varianter af denne metode.

Den numeriske løsning af differentialligninger (og herunder numerisk integration) spiller en meget stor rolle i anvendelserne, da mange matematiske modeller kan formuleres som et system af differentialligninger.

Udregning af talværdier har siden de ældste tider haft en central rolle i matematikken. Fx kunne Archimedes i den græske oldtid ved at udregne arealer af om- og indskrevne polygoner nå frem til tilnærmede værdier af π. Med fremvæksten af den moderne naturvidenskab og teknik blev behovet for numeriske løsninger større. Logaritmer blev opfundet i 1610'erne som et hjælpemiddel til multiplikation, og man fandt forbedrede rækkeudviklinger til at beregne de elementære funktioner (exp, cos, sin, ...).

Efter Newtons fremsættelse af sine bevægelseslove i 1687 drev behovet for stadig nøjagtigere forudsigelser af himmellegemernes positioner udviklingen af en lang række approksimationsmetoder. Newton studerede selv løsningen af ligninger ved iteration, og L. Euler indførte differensmetoder til løsning af differentialligninger. Bl.a. P.S. Laplace, A.M. Legendre og C.F. Gauss udviklede en lang række metoder, der også fik betydning uden for den celeste mekanik. Fx forfinedes metoderne til numerisk integration, mindste kvadraters metode blev indført, og studiet af afrundingsfejl blev påbegyndt. Eulers metoder til løsning af differentialligninger blev forbedret af bl.a. tyskerne C. Runge (1856-1927) og M.W. Kutta (1867-1944). Studiet af partielle differentialligninger, der spiller en stor rolle i mange fysiske teorier, blev påbegyndt i 1900-t. Den britiske matematiker L.F. Richardson (1881-1953) studerede fx den numeriske løsning af ligningerne for vejrprognoser, men anvendelserne var begrænsede af manglen på regnekraft.

Udviklingen af de elektroniske computere efter 2. Verdenskrig åbnede nye muligheder for talbehandling. De praktiske anvendelsesområder af allerede kendte algoritmer blev kraftigt udvidet, og nye metoder som finite element-metoden og Monte Carlo-metoder opstod. Med de stadig hurtigere computere i slutningen af 1900-t. har numerisk analyse fået en central rolle i alle områder af anvendt matematik.