mængdetopologi

De første fundamentale begreber i mængdetopologien blev udviklet i talrummene \(\mathbb{R}^n\) i forbindelse med den præcisering af begreberne konvergens af talfølger og kontinuitet af funktioner, som fandt sted i 1800-tallet i arbejder af bl.a. Bernhard Bolzano, Augustin Louis Cauchy, Karl Weierstrass, Heinrich Eduard Heine (1821-81) og Émile Borel.

Aksiomatiske indførelser af de reelle tal fra ca. 1870 af bl.a. Georg Cantor, Richard Dedekind og Weierstrass var et væsentligt led i udviklingen af mængdetopologien, ligesom Cantors arbejder om mængdebegrebet (1874 og frem) om ordinaltal og transfinitte kardinaltal (definitive fremstillinger 1895 og 1897) bør nævnes.

Centrale begreber som indre, ydre og rand for en mængde, åbne mængder, afsluttede mængder, begrænsede mængder og sammenhængende mængder blev indført i arbejder af Cantor og Camille Jordan. De mængder i talrummene, som samtidig er afsluttede og begrænsede, kan karakteriseres ved en overdækningsegenskab, nemlig at der i en vilkårlig overdækning med åbne delmængder altid findes endeligt mange, som overdækker. Dette vigtige resultat kaldes Heine-Borel-Lebesgues sætning (Heine 1872, Borel 1895, H. Lebesgue 1904). Med en terminologi foreslået af Maurice Fréchet kaldes mængder med denne overdækningsegenskab for kompakte mængder. Begreber karakteriseret ved overdækningsegenskaber har vist sig særdeles frugtbare i mængdetopologiens udvikling.

I 1906 påpegede Fréchet, at begreber som konvergens og kontinuitet kan indføres i mange andre typer rum end talrummene, ikke mindst i metriske rum. Sådanne rum optræder naturligt i forbindelser, hvor funktioner opfattes som punkter i et funktionsrum.

For at beskrive den indbyrdes beliggenhed af punkter i et rum kan man klare sig uden metriske størrelser og blot nøjes med et omegnsbegreb i rummet. Dette blev udviklet af Felix Hausdorff i Grundzüge der Mengenlehre (1914). En ækvivalent teori for topologiske rum, baseret på en afslutningsoperation for mængder i rummet, blev grundlagt af den polske matematiker Kazimierz Kuratowski (1896-1980) i 1922 og videreudviklet af den polske matematiker Wacław Sierpiński (1882-1969) i 1927.

Man kan i stedet benytte et aksiomsystem for åbne mængder foreslået i 1923 af Heinrich Tietze (1880-1964), og et topologisk rum, \(S\), defineres i dag oftest som en grundmængde \(S\) udstyret med et system af delmængder, der kaldes de åbne mængder. Systemet skal opfylde tre krav:

1. En vilkårlig foreningsmængde af åbne delmængder er selv åben.
2. En vilkårlig fællesmængde af et endeligt antal åbne delmængder er selv åben.
3. Hele mængden \(S\) og den tomme mængde \(Ø\) er åbne delmængder i \(S\).

Med udgangspunkt i disse aksiomer kan mængdetopologien udvikles.

• euklidisk rum
• funktionalanalyse
• metrisk rum