Redaktion og opdatering af indholdet på denstoredanske.dk er indstillet pr. 24. august 2017. Artikler og andet indhold er tilgængeligt i den form, der var gældende ved redaktionens afslutning.

  • Artiklens indhold er godkendt af redaktionen

isoperimetriske problemer

Oprindelig forfatter VLHa Seneste forfatter Redaktionen

isoperimetriske problemer, matematiske problemer med rod i geometrien, hvor to plane figurer siges at være isoperimetriske, hvis de har samme omkreds (perimeter).

Ordet isoperimetriske kommer af iso- og afledning af perimeter.

Det klassiske isoperimetriske problem går ud på at vise, at cirklen har et større areal end enhver anden plan figur med samme omkreds. Spørgsmålet er en typisk problemstilling i variationsregning. Den græske matematiker Zenodor har beskæftiget sig med maksimalegenskaben ved cirklen i et værk fra ca. 150 f.Kr., men også Archimedes bør nævnes. Det lå imidlertid uden for deres muligheder at føre et korrekt matematisk bevis for, at problemet overhovedet har en løsning, og de erkendte heller ikke denne side af problemet.

Dette blev først endeligt erkendt som et afgørende punkt og fuldstændig bevist af K. Weierstrass omkring 1870, da han udviklede nogle banebrydende teknikker i den matematiske analyse. Omkring 1840 havde J. Steiner (1796-1863) allerede fremlagt flere geometriske beviser for, at cirklen omslutter det maksimale areal blandt figurer med samme omkreds, under forudsætning af at en sådan maksimal figur findes. Den umiddelbare generalisation til højere dimensioner er som forventet. Eksempelvis er kuglen dén rumlige figur, der omslutter det største volumen med et foreskrevet overfladeareal. Dette blev bevist af H.A. Schwarz (1843-1921) i en meget vanskelig artikel fra 1884.

Annonce

Betegnelsen isoperimetrisk problem bruges i dag om en række typer af problemer, hvor en størrelse (fx et integral i nogle parametre) skal maksimeres under fastholdelse af en anden størrelse.

Referér til denne tekst ved at skrive:
Vagn Lundsgaard Hansen: isoperimetriske problemer i Den Store Danske, Gyldendal. Hentet 20. august 2019 fra http://denstoredanske.dk/index.php?sideId=99884