indeksteori

Indeksteori er et matematisk forskningsområde på grænsen mellem partielle differentialligninger og topologi. Operatorer med indeks, også kaldet Fredholmoperatorer, er lineære afbildninger med endeligdimensional kerne og billedmængde af endelig kodimension; differensen mellem dimensionerne kaldes indeks. Det er stabilt under kontinuert ændring af operatoren og måler en type spektral asymmetri. For endomorfier i endeligdimensionale rum er indekset altid nul. Indeksteoriens hovedresultat er Atiyah-Singers indekssætning fra 1963 for elliptiske operatorer på kompakte mangfoldigheder uden rand. Den udtrykker operatorens indeks, der er globalt defineret, ved et integral af operatorens hovedsymbol, der er lokalt defineret. Blandt indeksteoriens anvendelser findes generaliseringer til randværdiproblemer, beregning af mangfoldigheders geometriske invarianter efter mønstret i Gauss-Bonnets og Riemann-Rochs klassiske "indekssætninger" samt bestemmelse af anomalier i kvantefeltteori.