Redaktion og opdatering af indholdet på denstoredanske.dk er indstillet pr. 24. august 2017. Artikler og andet indhold er tilgængeligt i den form, der var gældende ved redaktionens afslutning.

  • Artiklens indhold er godkendt af redaktionen

homologi

Oprindelig forfatter VLHa Seneste forfatter Redaktionen

Homologi. Øverst: Enhver lukket kurve (der ikke skærer sig selv) på en kugleoverflade er rand for en del af overfladen og dermed homolog med 0 (den tomme kurve). Nederst: En cirkel, der går rundt om hullet på en torus, er ikke rand for en del af torussen. Cirklen er altså ikke homolog med 0. Således kan homologi anvendes til at karakterisere den topologiske forskel på en kugleflade og en torus.

Homologi. Øverst: Enhver lukket kurve (der ikke skærer sig selv) på en kugleoverflade er rand for en del af overfladen og dermed homolog med 0 (den tomme kurve). Nederst: En cirkel, der går rundt om hullet på en torus, er ikke rand for en del af torussen. Cirklen er altså ikke homolog med 0. Således kan homologi anvendes til at karakterisere den topologiske forskel på en kugleflade og en torus.

homologi, (af homo- og -logi, dvs. 'overensstemmelse'), matematisk begreb i topologi; det optræder i studiet af de kvalitative egenskaber ved et geometrisk objekt. Fx kan forskellen mellem en kugleflade og en kugleflade med hanke karakteriseres præcist vha. homologi. Homologibegrebet optræder i adskillige matematiske discipliner.

Udgangspunktet er et geometrisk objekts system af cykler, dvs. lavere dimensionale dele af objektet, der løber tilbage i sig selv som en cirkel på en kugleflade. På en kugleflade er enhver cirkel rand af en "krum" cirkelskive, mens en cirkel, der løber rundt om hullet i en torus eller rundt om den, ikke er rand af et stykke af torusfladen. Generelt siges to cykler af dimension d i et geometrisk objekt at være homologe, hvis de tilsammen udgør randen af et delobjekt af dimension d+1. En cykel, som i sig selv er en rand, er derfor homolog med 0 (den tomme cykel). På en kugleflade er enhver lukket kurve uden selvgennemskæringer homolog med 0; dette er ikke tilfældet på en torus pga. hullet.

Grundlaget for en teori for homologi blev skabt omkring 1870 af den italienske matematiker Enrico Betti (1823-92). Teorien blev præciseret og stærkt udvidet af H. Poincaré i en afhandling fra 1895 og videreført af L.S. Pontrjagin samt de tre amerikanske matematikere Oswald Veblen (1880-1960), James W. Alexander (1888-1971) og S. Lefschetz. Omkring 1925 fandt man den rigtige algebraiske formulering af teorien i form af de såkaldte homologigrupper. Beregning af disse grupper er vanskelig, men dog lettere end for de beslægtede grupper, der indføres i homotopiteori.

Annonce

Referér til denne tekst ved at skrive:
Vagn Lundsgaard Hansen: homologi i Den Store Danske, Gyldendal. Hentet 25. maj 2019 fra http://denstoredanske.dk/index.php?sideId=92799