geometri

I Thyra Eibes (1866-1955) danske oversættelse af Euklids Elementer fra 1897 formuleres Euklids postulater på følgende måde:

Lad det være forudsat:

• Postulat 1 — at man kan trække en ret linje fra et hvilket som helst punkt til et hvilket som helst punkt.
• Postulat 2 — at man kan forlænge en begrænset ret linje i ret linje ud i et.
• Postulat 3 — at man kan tegne en cirkel med et hvilket som helst centrum og en hvilken som helst radius.
• Postulat 4 — at alle rette vinkler er lige store.
• Postulat 5 — at, når en ret linje skærer to rette linjer, og de indvendige vinkler på samme side er mindre end to rette, så mødes de to linjer, når de forlænges ubegrænset, på den side, hvor de to vinkler ligger, der er mindre end to rette.

Der skjuler sig flere vanskeligheder bag ovenstående system af fem postulater, og de er faktisk ikke tilstrækkelige til at karakterisere euklidisk geometri. Først mere end to tusinde år senere lykkedes det David Hilbert med bogen Grundlagen der Geometrie (1899) at formulere et fuldstændigt aksiomsystem for den euklidiske geometri. Hilbert inddelte sine aksiomer i fem klasser vedrørende henholdsvis begreberne incidens om forbindelser og skæringer mellem punkter, linjer og planer, ordning om mellemliggende punkter på linjestykker, kongruens om overensstemmelse af linjestykker, vinkler og trekanter, parallelitet og kontinuitet om tætheden af punkter på linjer.

De metoder, som udvikledes til behandling af geometriske spørgsmål hos Euklid, Apollonius og deres mange efterfølgere, og som var baseret på rene geometriske begreber, kendes nu under navnet syntetisk geometri. Efter udviklingen af analytisk geometri (koordinatgeometri) i bogen La Géométrie (1637) af René Descartes, med dens vægt på algebraiske metoder i geometrien, trådte de syntetiske metoder i geometrien noget i baggrunden. I forbindelse med udviklingen af deskriptiv geometri og mere generelt projektiv geometri oplevede de syntetiske metoder dog i begyndelsen af 1800-tallet en opblomstring, indledt med arbejder af Gaspard Monge og hans elever Lazare Carnot og Jean Victor Poncelet. Den projektive geometri har sit udspring i perspektivlæren og i opdagelsen af en række egenskaber ved geometriske figurer, der er uændrede under centralprojektion således som påvist af bl.a. Girard Desargues og Blaise Pascal i 1600-tallet.

Også fremkomsten af differentialregning og integralregning i slutningen af 1600-tallet fik stor betydning for geometriens udvikling, og der opstod en helt ny gren af geometrien, der inddrager disse metoder, nemlig differentialgeometri. Oprindelig blev differentialgeometri udviklet i nær sammenhæng med mekanik af matematikere som Leonhard Euler og Joseph Louis Lagrange i 1700-tallet. Banebrydende differentialgeometriske undersøgelser af fladers indre geometri blev udført af den tyske matematiker Carl Friedrich Gauss i værket Disquisitiones generales circa superficies curvas (1827).

Som det senere har vist sig, kan man konstruere geometrier svarende til alle de tre tilfælde for vinkelsummen i en trekant, som Saccheri havde betragtet i sit arbejde. Med en terminologi indført af Felix Klein i 1872 i Erlangen-programmet kaldes geometrier, hvor vinkelsummen i en trekant er hhv. større end, lig med og mindre end 180°, nu elliptiske, parabolske og hyperbolske; i nær sammenhæng med, at en trekant afgrænset af geodætiske buestykker på hhv. en elliptisk paraboloide, en parabolsk cylinderflade og en hyperbolsk paraboloide har sådanne vinkelsummer. I den euklidiske plan er geometrien parabolsk. På en euklidisk kugleflade med storcirkelbuerne som linjer er geometrien elliptisk, men såkaldt dobbelt elliptisk, idet diametralt modsatte punkter ikke entydigt bestemmer en linje. Geometrien på en kugleflade kaldes også sfærisk. Hvis man på kuglefladen identificerer ethvert punkt med sit diametralt modsatte punkt, får man den projektive plan. Heri er geometrien enkelt elliptisk, idet den foretagne identifikation sikrer, at ethvert par af punkter entydigt bestemmer en linje i geometrien.

I en afhandling fra 1887 har Henri Poincaré beskrevet en særlig kendt euklidisk model af den hyperbolske plan. Punkterne i Poincarés model er punkterne inden for randen af en euklidisk cirkelskive Φ, og de hyperbolske linjer er de euklidiske cirkelbuer, der skærer randcirklen for Φ under rette vinkler. Som hyperbolske linjer medtages også alle euklidiske diametre i Φ; man kan tænke på disse hyperbolske linjer som euklidiske cirkelbuer med uendelig stor radius.

I den hyperbolske plan går der gennem ethvert punkt uden for en given linje uendelig mange linjer parallelt med den givne linje. I elliptisk geometri skærer to vilkårlige linjer hinanden, og der er således ingen par af parallelle linjer. Linjerne i en elliptisk geometri er ikke længere "uendelige", men lukkede kurver; elliptiske geometrier opfylder altså ikke Euklids 2. postulat.

På grund af den nøje overensstemmelse mellem teori og praksis havde man gennem århundreder vænnet sig til at tænke på Euklids postulater som selvindlysende sandheder. Fremkomsten af ikke-euklidiske geometrier rejste derfor spørgsmålet om, hvilken geometri der bedst muligt beskriver den fysiske verden. Derved indledtes en af de gyldne perioder i samspillet mellem matematik og fysik, der i begyndelsen af 1900-tallet førte til udviklingen af Einsteins relativitetsteori.

Et fælles grundlag for studiet af de forskellige typer af geometrier beskrevet ovenfor blev første gang præsenteret af Bernhard Riemann i forelæsningen Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen i forbindelse med hans habilitation ved universitetet i Göttingen i 1854. Riemanns arbejde går dog langt videre og skal især ses som en videreførelse til højere dimensioner af de differentialgeometriske undersøgelser af fladers indre geometri udført af Gauss. Med en fælles betegnelse kaldes sådanne studier nu riemannsk geometri.

De affine egenskaber ved geometriske figurer er de egenskaber, der er invariante under lineære transformationer af figurerne. Omkring 1850 begyndte matematikere som Karl Georg Christian von Staudt (1798-1867) og Arthur Cayley at betragte andre transformationer end de lineære ved studiet af geometriske figurer. Herunder efterspurgte de egenskaber ved kurver og flader, som var invariante under disse nye transformationer. Det viste sig hurtigt, at det er de såkaldte birationale transformationer, herunder de projektive transformationer, som er interessante. En bijektiv transformation er birational, hvis både den selv og den omvendte transformation er rationale funktioner i deres koordinater. Begreberne blev definitivt sat på plads af F. Klein omkring 1870, og heraf udsprang den algebraiske geometri, som den nu kendes. I kølvandet på analytisk geometri blev navnet oprindelig hæftet til alt matematisk arbejde, hvor algebra blev brugt i geometri. I 1900-tallet bruges navnet algebraisk geometri om studier af geometriske egenskaber ved algebraisk definerede geometriske former. Algebraisk geometri er et yderst aktivt og aktuelt forskningsområde i matematikken.

I en afhandling fra 1679 satte Gottfried Wilhelm Leibniz sig som mål at formulere nogle grundlæggende geometriske egenskaber ved geometriske figurer, at bruge specielle symboler til at repræsentere dem og at kombinere disse egenskaber for at frembringe andre. Han kaldte sit studium analysis situs eller geometria situs. Det var uklart, hvad han mente, men det står klart, at han var utilfreds med koordinatgeometrien til behandling af geometriske figurer. I et brev fra 1836 foreslog Johann Listing (1808-1882), en elev af Gauss, at navnet analysis situs blev erstattet af navnet topologi, som i vore dage er den almindelige betegnelse. Betegnelsen topologi bliver nu i almindelighed knyttet til studiet af de kvalitative egenskaber ved geometriske objekter, som forbliver invariante ved bøjning, strækning, sammentrykning eller en vilkårlig anden kontinuert deformation, som ikke skaber nye punkter eller lader eksisterende punkter smelte sammen. Til geometrien regner man tilsvarende de kvantitative egenskaber ved geometriske objekter, som forbliver invariante ved længde- og vinkelbevarende transformationer. I 1900-tallet er topologien vokset til en meget vigtig matematisk disciplin.