Peanos kurve er en kontinuert kurve i enhedskvadratet i den euklidiske plan med den overraskende egenskab, at den går igennem ethvert punkt i enhedskvadratet og dermed totalt dækker dette plane område.
Peanos kurve
Figuren til venstre og figuren til højre viser henholdsvis den første kurve (blå) og den anden kurve (violet) i følgen af polygonale kurver, der indgår i opbygningen af Peanos kurve som grænse for en følge af polygonale kurver i enhedskvadratet i den euklidiske plan.
Konstruktion af Peanos kurve
Peanos kurve opstår i grænsen for en følge af polygonale kurver i enhedskvadratet; enhver af kurverne har en parameterfremstilling, der afbilder et fælles lukket interval ind i enhedskvadratet. De polygonale kurver i følgen konstrueres ved i rækkefølge at opdele enhedskvadratet i \(9, 9^2 = 81, 9^3=729, \dots \) små kongruente kvadrater og på passende vis forbinde midtpunkterne i de små kvadrater med en sammenhængende kæde af rette linjestykker. I takt med at antallet af små kvadrater vokser, nærmer kantlængden i de små kvadrater sig \(0\). De polygonale kurver i følgen smelter derfor sammen i grænsen og udfylder hele enhedskvadratet.
En Peano-kurve er en fraktal og kan ikke tilskrives en længde.
Det kom som et chok for matematikere, at det er muligt kontinuert at afbilde et linjestykke på et plant område, og det var igangsættende ved videreudviklingen af matematiske begreber som kurve og dimension.
Læs mere i Den Store Danske
Fagansvarlig for Geometri
Kommentarer
Kommentarer til artiklen bliver synlige for alle. Undlad at skrive følsomme oplysninger, for eksempel sundhedsoplysninger. Fagansvarlig eller redaktør svarer, når de kan.
Du skal være logget ind for at kommentere.