konstruktion

I elementær geometri foretrækker man ofte, at konstruktioner udføres med passer og lineal alene. Et sådant krav går muligvis tilbage til Oinopides fra Chios (ca. 450 f.v.t.) og overholdes i Euklids Elementer fra ca. 300 f.v.t.; det er netop indholdet af Euklids tre første postulater (se geometri). I Elementer vises, hvordan man med passer og lineal kan oprejse og nedfælde en vinkelret, halvere en vinkel, flytte en vinkel samt konstruere det gyldne snit og den regulære tre-, fir- og femkant.

Ved løsning af en del andre konstruktionsproblemer måtte grækerne ty til andre konstruktionsmetoder; det gælder blandt andet konstruktionen af den regulære syvkant og de tre klassiske problemer: cirklens kvadratur, vinklens tredeling og terningens fordobling (det deliske problem).

I 1801 viste Gauss, at den regulære \(n\)-kant kan konstrueres med passer og lineal, netop når \(n\) har formen \( 2^kp_1p_2\cdots p_i \), hvor \( p_1, p_2, \ldots, p_i \) er forskellige primtal af formen \( 2^{2^m} +1 \). Det betyder, at syvkanten ikke kan konstrueres med passer og lineal, mens 17-kanten kan. De klassiske problemers uløselighed med passer og lineal blev også vist i 1800-tallet. Beviserne benytter algebra, idet det vises, at de linjestykker, der kan konstrueres med passer og lineal ud fra givne linjestykker, har længder, der kan udtrykkes ved længderne af de givne linjestykker, ved hjælp af de rationale operationer +, −, ∙ og / samt kvadratrodsuddragning. Heraf følger, at de længder, der kan konstrueres ud fra et linjestykke med længden 1 (de såkaldte konstruerbare tal), er algebraiske tal. Da fx \(\pi\) ikke er algebraisk, viser dette umuligheden af at kvadrere cirklen med passer og lineal. Ikke alle algebraiske tal er konstruerbare. Således er \( \sqrt[3]{2} \) ikke konstruerbart, hvilket medfører, at terningen ikke kan fordobles med passer og lineal.

Georg Mohr viste i 1672, at man kan konstruere det samme med passer alene, og i 1673, at man kan konstruere det samme med lineal og en passer med fast åbning, som man kan med passer og lineal.

• geometri
• talteori
• algebra