Redaktion og opdatering af indholdet på denstoredanske.dk er indstillet pr. 24. august 2017. Artikler og andet indhold er tilgængeligt i den form, der var gældende ved redaktionens afslutning.

  • Artiklens indhold er godkendt af redaktionen

kugle

Oprindelig forfatter FDa Seneste forfatter Uffe Rasmussen

Kugle.

Kugle.

kugle, i matematik et legeme, der afgrænses af en kugleflade, som er stedet for punkter med samme afstand r fra et fast punkt O; afstanden r kaldes radius, og O centrum for kuglen og kuglefladen. I et koordinatsystem med O som begyndelsespunkt har kuglefladen ligningen x2+y2+z2 = r2, og kuglens indre punkter (x,y,z) tilfredsstiller x2+y2+z2 < r2.

For r = 1 taler man om enhedskuglen. De to diametralt modsatte punkter (0,0,1) og (0,0,−1) på enhedskuglen kaldes hhv. nordpol og sydpol. En storcirkel er skæringskurve mellem kuglefladen og en plan, der går gennem O. Den storcirkel, der er skæringskurve med planen med ligningen z = 0, kaldes ækvator. En parameterfremstilling af enhedskuglefladen er r(u,v)=(sin(u)∙cos(v), sin(u)∙sin(v), cos(u)), hvor 0≤uπ og 0≤v<2π. Her kan (u,v) tolkes som sfæriske koordinater på kuglefladen (se koordinatsystem).

En plan, der skærer kuglen, deler denne i to kugleafsnit, hvis krumme overflader kaldes kuglekalotter, og som har fælles grundcirkel. Ved højdenh for et afsnit, hhv. en kalot forstås den største afstand mellem skæringsplanen og et punkt på kalotten. For rumfanget V af et kugleafsnit og overfladeareal A af den tilsvarende kalot gælder V = 1/3πh2(3rh) og A = 2πrh. Når man skærer kuglen med to parallelle planer med afstanden h, fremkommer en kugleskive, begrænset af to cirkler og et kuglebælte. Bæltets areal er A = 2πrh. Hvis radierne i de nævnte cirkler er r1 og r2, så er skivens rumfang V = 1/6πh(3r12+3r22+h2).

Et kugleudsnit fremkommer som legemet begrænset af en kalot og den kegleflade, der har toppunkt i centrum og ledecirkel fælles med kalotten. Er kalottens højde h<r og ledecirklens radius r1, så er udsnittets rumfang V = 2/3πr2h, og arealet af dets krumme overflade A = πr(2h+r1). Betragter man som et grænsetilfælde et kugleafsnit, hhv. en kuglekalot med højde 2r, så finder man kuglens rumfang V og kuglefladens areal A: V = 4/3πr3 og A = 4πr2.

Kuglen og kuglefladen er blandt de mest undersøgte objekter i geometrien, specielt med metoder fra differentialgeometrien i forbindelse med krumningsegenskaber. Fx gælder, at ikke alene er den gaussiske krumning K og middelkrumningen H konstante på en kugleflade, men hvis blot K er konstant på en lukket flade, så er denne en kugleflade, og er H konstant på en konveks flade, vil fladen også være en kugleflade. Desuden er kuglefladen den flade, der for et givet overfladeareal indeslutter det største volumen, jf. isoperimetriske problemer.

Annonce

Referér til denne tekst ved at skrive:
Flemming Damhus Pedersen: kugle i Den Store Danske, Gyldendal. Hentet 14. oktober 2018 fra http://denstoredanske.dk/index.php?sideId=111913