Redaktion og opdatering af indholdet på denstoredanske.dk er indstillet pr. 24. august 2017. Artikler og andet indhold er tilgængeligt i den form, der var gældende ved redaktionens afslutning.

  • Artiklens indhold er godkendt af redaktionen

keglesnit

Oprindelig forfatter VLHa Seneste forfatter Redaktionen

Keglesnit. De tre typer keglesnit: ellipse, parabel og hyperbel. De to sidstnævnte er uendelige kurver.

Keglesnit. De tre typer keglesnit: ellipse, parabel og hyperbel. De to sidstnævnte er uendelige kurver.

keglesnit, kurver, der fremkommer som skæringskurverne mellem en omdrejningskegleflade (se kegleflade) og en plan. De falder i tre typer: ellipser, parabler og hyperbler. Keglesnittene blev allerede studeret tidligt i den klassiske græske matematik, og ca. 200 f.Kr. blev den opnåede viden om keglesnittene sammenfattet og stærkt udvidet af Apollonios fra Perge, hvis værk regnes som et hovedværk i oldtidens matematik.

Geometriske egenskaber

Hvis man skærer en omdrejningskegleflade med en plan, som ikke går igennem keglefladens toppunkt, fremkommer en plan skæringskurve, hvis form afhænger af den vinkel, som skæringsplanen danner med keglefladens akse. Når denne skæringsvinkel er større end keglefladens aksevinkel, skærer planen tværs gennem keglefladen, og skæringskurven bliver en lukket kurve, en ellipse; hvis keglefladens akse står vinkelret på skæringsplanen, fås specielt en cirkel. Når skæringsvinklen er lig med aksevinklen, er en frembringer for keglefladen parallel med planen, og skæringskurven bliver en åben kurve, en parabel. Når skæringsvinklen er mindre end aksevinklen, skærer planen begge stykker af keglefladen, og skæringskurven falder i to åbne stykker, en hyperbel. De to stykker af hyperblen kaldes dens grene.

Keglesnit. Keglesnits refleksionsegenskaber har mange praktiske anvendelser. Drejes et stykke af en parabel omkring parablens symmetriakse, fremkommer en parabolsk reflektor, der fx bruges i parabolske spejle og parabolskærme. Drejes et stykke af en ellipse omkring ellipsens storakse, fremkommer en elliptisk reflektor, der fx udnyttes i nyrestensknusere: En nyrestenspatient anbringes, så nyrestenen befinder sig i brændpunktet uden for reflektoren, der er fyldt med vand. Vha. en elektrode i det andet brændpunkt udsendes en supersonisk chokbølge, der reflekteres, passerer patientens hud og når brændpunktet med nyrestenen, hvor chokbølgen knuser stenen.

Keglesnit. Keglesnits refleksionsegenskaber har mange praktiske anvendelser. Drejes et stykke af en parabel omkring parablens symmetriakse, fremkommer en parabolsk reflektor, der fx bruges i parabolske spejle og parabolskærme. Drejes et stykke af en ellipse omkring ellipsens storakse, fremkommer en elliptisk reflektor, der fx udnyttes i nyrestensknusere: En nyrestenspatient anbringes, så nyrestenen befinder sig i brændpunktet uden for reflektoren, der er fyldt med vand. Vha. en elektrode i det andet brændpunkt udsendes en supersonisk chokbølge, der reflekteres, passerer patientens hud og når brændpunktet med nyrestenen, hvor chokbølgen knuser stenen.

Excentricitet. Forholdet mellem længderne af de vinkelrette projektioner af et linjestykke på keglefladens akse ind på henholdsvis skæringsplanen, der fastlægger keglesnittet, og en frembringer for keglefladen kaldes excentriciteten for keglesnittet og betegnes med e; excentriciteten er et ikke-negativt tal. For 0 ≤ e < 1 fås en ellipse, specielt for e = 0 en cirkel; for e = 1 fås en parabel; og for e> 1 en hyperbel. Ledelinjer og brændpunkter. Som plane kurver kan de tre typer af keglesnit karakteriseres ved hjælp af en ledelinje, et brændpunkt samt excentriciteten. Keglesnittet med excentricitet e > 0, ledelinje l og brændpunkt F udgøres netop af de punkter P i planen, for hvilke afstanden til punktet F er e gange afstanden til linjen l: |PF| = e|Pl|. Ligesom ellipsen har hyperblen to brændpunkter F1 og F2 med tilhørende ledelinjer l1 og l2 og to symmetriakser. Hyperblen har desuden to asymptoter. Linjestykket mellem de to grene af hyperblen på den symmetriakse, der skærer hyperblen, kaldes førsteaksen. Længden af det linjestykke, som hyperblens asymptoter afskærer på normalen til førsteaksen i et endepunkt, kaldes andenaksen. Hvis den halve førsteakse har længden a, består hyperblen af de punkter P i planen, for hvilke ||PF1|−|PF2|| = 2a. Parablen har kun et enkelt brændpunkt F med tilhørende ledelinje l.

Annonce

Algebraiske egenskaber

Hvis man indlægger et sædvanligt retvinklet koordinatsystem i planen, er keglesnittene fastlagt ved ligninger i to variable af anden grad. De kaldes derfor også andengradskurver. Studiet af geometriske former defineret ud fra polynomier af højere grad hører under algebraisk geometri.

Keglesnit. Tv. illustreres den belgiske matematiker G.P. Dandelins (1794-1847) konstruktion fra 1822 til geometrisk at bestemme brændpunkter og ledelinjer for et keglesnit. For en ellipse findes der netop to kugler, der samtidig rører keglefladen i en cirkel og skæringsplanen i et punkt. De to brændpunkter er de to kuglers røringspunkter med skæringsplanen, og de to ledelinjer findes som skæringslinjerne mellem skæringsplanen og de to planer, der indeholder kuglernes røringscirkler med keglefladen. For parablen findes én sådan kugle og for hyperblen igen to kugler; brændpunkter og ledelinjer bestemmes på lignende måde. Th. grafer og ligninger for de tre keglesnit.

Keglesnit. Tv. illustreres den belgiske matematiker G.P. Dandelins (1794-1847) konstruktion fra 1822 til geometrisk at bestemme brændpunkter og ledelinjer for et keglesnit. For en ellipse findes der netop to kugler, der samtidig rører keglefladen i en cirkel og skæringsplanen i et punkt. De to brændpunkter er de to kuglers røringspunkter med skæringsplanen, og de to ledelinjer findes som skæringslinjerne mellem skæringsplanen og de to planer, der indeholder kuglernes røringscirkler med keglefladen. For parablen findes én sådan kugle og for hyperblen igen to kugler; brændpunkter og ledelinjer bestemmes på lignende måde. Th. grafer og ligninger for de tre keglesnit.

Anvendelser

I den klassiske fysik er keglesnittene (hvis man medtager de to "udartede" keglesnit, punktet og den rette linje) netop de mulige banekurver for en partikel, der bevæger sig i et centralt kraftfelt, som aftager med kvadratet på afstanden. Således er banekurven for en planet i omløb om en ubevægelig sol elliptisk som udledt af Newton.

Keglesnittene har vigtige refleksionsegenskaber, som udnyttes i fx parabolske skærme og spejle og elliptiske hulspejle. I disse sammenhænge fremtræder keglesnittenes brændpunkter som fysiske brændpunkter.

Keglesnittene spillede tidligere en stor rolle i matematikundervisningen på gymnasialt niveau.

Referér til denne tekst ved at skrive:
Vagn Lundsgaard Hansen: keglesnit i Den Store Danske, Gyldendal. Hentet 14. oktober 2019 fra http://denstoredanske.dk/index.php?sideId=105257