hyperbel (geometrisk form)

Forholdet mellem længderne af de vinkelrette projektioner af et linjestykke på keglefladens akse ind på henholdsvis skæringsplanen, der fastlægger hyperblen, og en frembringer for keglefladen kaldes excentriciteten og betegnes med \(e\). Begrebet er nærmere beskrevet i artiklen keglesnit. For hyperblen er excentriciteten \(e>1\).

Som plane kurver kan de tre typer af keglesnit karakteriseres ved hjælp af en ledelinje, et brændpunkt samt excentriciteten. Hyperblen med excentricitet \( e > 1 \), ledelinje \(l\) og brændpunkt \(F\) udgøres netop af de punkter \(P\) i planen, for hvilke afstanden til punktet \(F\) er \(e\) gange afstanden til linjen \(l\), altså hvor \( \vert PF\vert = e\vert Pl\vert \).

Hyperblen har som ellipsen to symmetriakser og to brændpunkter \(E\) og \(F\), hver med en tilhørende ledelinje \(l\). Hyperblen har desuden to asymptoter. Linjestykket mellem de to grene af hyperblen på den symmetriakse, der skærer hyperblen, kaldes førsteaksen. Længden af det linjestykke, som hyperblens asymptoter afskærer på normalen til førsteaksen i et af dens endepunkter, kaldes andenaksen.

Hvis den halve førsteakse har længden \(a\), består hyperblen af de punkter \(P\) i planen, for hvilke den numeriske differens mellem punktets afstande til brændpunkterne tilfredsstiller \[\big\vert\hspace{1pt} \vert PE\vert – \vert PF\vert\hspace{1pt}\big\vert =2a .\]

Hvis den halve storakse og den halve lilleakse henholdsvis har størrelsen a og b, er excentriciteten for hyperblen givet ved formlen \[e=\sqrt{1+\tfrac{b^2}{a^2}}.\] I et sædvanligt retvinklet koordinatsystem er hyperblen fastlagt ved ligningen \[\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 ,\] og de to asymptoter har ligningerne \[y=\pm\frac{b}{a} x .\]

• keglesnit
• ellipse
• parabel