summabilitetsteori

Summabilitetsteori er en matematisk teori, der gør det muligt at tillægge visse uendelige rækker \(\sum^\infty_{n=1} a_n\) en sum. Hvis rækkens afsnit \(s_n = a_1 + \dots + a_n\) har en grænseværdi \(s\), kaldes rækken konvergent med sum \(s\), ellers kaldes den divergent. Selv for en divergent række kan afsnittenes middeltal \(\sigma_n = (s_1+\dots + s_n) / n\) imidlertid have en grænseværdi \(s\). Rækken kaldes da Cesàro-summabel af første orden eller blot summabel med sum \(s\). Cesàro-summabilitet af \(r\)'te orden, hvor \(r\) kan være et vilkårligt positivt reelt tal, er en mere generel summabilitetsmetode. Det kan bevises, at enhver konvergent række med sum \(s\) får samme sum ved Cesàro-summabilitet, som dermed er en udvidelse af konvergens. Den divergente række \(\sum^\infty_{n=0} (-1)^n = 1-1+1-1+\dots\) er summabel med sum \(1/2\). Den ungarske matematiker Lipót Fejér (1880-1959) viste i 1900, at Fourierrækken for en kontinuert periodisk funktion \(f\) er summabel med sum \(f(x)\).