Potensrække betegner, i matematik, en uendelig række af formen\[\sum^\infty_{n=0} c_n x^n = c_0 + c_1x + c_2 x^2 + \dots,\] hvor koefficienterne \(c_n\) og den variable \(x\) kan være vilkårlige reelle- eller komplekse tal. Mange almindeligt forekommende funktioner kan repræsenteres ved en potensrække (se Taylors formel).
Til enhver potensrække er knyttet en konvergensradius, som er et tal \(r \in [0, \infty]\), så rækken er absolut konvergent for \(|x| < r\) og divergent for \(|x| > r\). I intervallet \(]-r,r[\) er summen af potensrækken en analytisk funktion. I kompleks analyse er summen en holomorf funktion i cirkelskiven \(|x| < r\).
Potensrækker blev benyttet fra slutningen af 1600-t. af bl.a. Newton (se binomialformlen), og matematikerne i 1700-t. regnede med de almindelige funktioners potensrækker uden at bekymre sig om konvergens og divergens. I løbet af 1800-t. blev rækkelæren, herunder potensrækkernes teori, stringent begrundet.
Sum af nogle simple potensrækker og deres konvergens radius| Potensrække | Konvergensradius |
|---|---|
| \(\sum^\infty_{n=0} x^n = \frac{1}{1-x}\) | \(r=1\) |
| \(\sum^\infty_{n=0} \frac{x^n}{n!} = \exp x\) | \(r = \infty\) |
| \(\sum^\infty_{n=0} (-1)^n \frac{x^{n+1}}{n+1} = \ln (1+x)\) | \(r=1\) |
| \(\sum^\infty_{n=0} (-1)^n \frac{x^{n+1}}{(2n+1)!} = \sin x\) | \(r= \infty\) |
Kommentarer
Kommentarer til artiklen bliver synlige for alle. Undlad at skrive følsomme oplysninger, for eksempel sundhedsoplysninger. Fagansvarlig eller redaktør svarer, når de kan.
Du skal være logget ind for at kommentere.