Redaktion og opdatering af indholdet på denstoredanske.dk er indstillet pr. 24. august 2017. Artikler og andet indhold er tilgængeligt i den form, der var gældende ved redaktionens afslutning.

  • Artiklens indhold er godkendt af redaktionen

ortogonale polynomier

Oprindelig forfatter CBer Seneste forfatter Redaktionen

ortogonale polynomier, klasse af polynomier, som spiller en vigtig rolle i approksimationsteori og numerisk analyse. En følge af polynomier p0,p1, ... , hvor pn har grad n, kaldes ortogonale på intervallet I = ]a,b[ med hensyn til w, hvis

191581.401.jpg

Funktionen w kaldes vægtfunktionen, og den forudsættes positiv på intervallet I. Ved fastsættelsen

191581.402.jpg

defineres et skalarprodukt i Hilbertrummet af reelle, kvadratisk integrable funktioner med hensyn til w. De ortogonale polynomier udgør et ortogonalt system i dette Hilbertrum, og pn har normen191581.301.jpg. Systemet kaldes normeret, hvis kn = 1 for alle n. Ved at erstatte pn med pn/191581.301.jpg opnås et normeret system. Til en given vægtfunktion findes et normeret system af ortogonale polynomier, som er entydigt på nær fortegn.

Betydningen af ortogonale polynomier består i, at man kan approksimere en funktion f på intervallet I ved et endeligt antal led i rækken

Annonce

191581.403.jpg

De første ortogonale polynomier, Legendre-polynomierne, blev studeret af A.M. Legendre i 1782 og har forbindelse til kuglefunktioner. De er ortogonale på intervallet I = ]−1,1[ med w(x) = 1 og kn = 2/(2n+1). De klassiske ortogonale polynomier hører til intervallerne ]−∞,∞[, ]0,∞[ og ]−1,1[ og er opkaldt efter henholdsvis C. Hermite, E.N. Laguerre og C.G. Jacobi. Disse polynomier er desuden løsninger til en differentialligning af anden orden af Sturm-Liouville-type. Legendre- og Tjebysjov-polynomierne er specielle Jacobi-polynomier.

Referér til denne tekst ved at skrive:
Christian Berg: ortogonale polynomier i Den Store Danske, Gyldendal. Hentet 22. oktober 2019 fra http://denstoredanske.dk/index.php?sideId=136621