En kædebrøk er et matematisk udtryk af form \[a_0+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{a_3+\cdots}}},\] der enten slutter med en nævner \(a_n\) eller stadig forsætter. Alle \(a_i\) er positive heltal, dog kan \(a_0\) være \(\leq 0 \). Som kort betegnelse bruges \([a_0, a_1, a_2, ...]\). En endelig kædebrøk \([a_0, a_1,..., a_n]\) kan omregnes til en sædvanlig brøk \(p/q\) og omvendt.

En uendelig kædebrøk \( [a_0, a_1, a_2, ...]\) har en talværdi defineret som grænseværdi for talfølgen \([a_0], \ [a_0, a_1], \ [a_0,a_1,a_2], \ ... \) af konvergenter. Værdien er irrational. Omvendt har et vilkårligt irrationalt tal \(\theta\) en bestemt kædebrøksudvikling. Konvergenterne er særlig gode rationale tilnærmelser til \(\theta\) i følgende forstand: Omregnet til uforkortelig brøk \(p_n/q_n\) afviger \([a_0, a_1, ..., a_n]\) mindre fra \(\theta\) end enhver anden brøk med samme eller mindre nævner, og \[|\theta- \frac{p_n}{q_n}| < \frac{1}{q_nq_{n+1}} < \frac{1}{a_{n+1}}\left(\frac{1}{q_n}\right)^2 \leq \left(\frac{1}{q_n}\right)^2,\]

Mere generelt betragtes bl.a. kædebrøker med positive heltal \(b_1, b_2, ...\) som tællere i stedet for \(1,1,...\) . Kædebrøkernes teori er især udviklet af L. Euler, J.L. Lagrange og A.M. Legendre.

Eksempel

Blandt konvergenterne til \(\pi = [3,7,15,1,292,1,1,...]\) blev \([3,7] = 3+ 1/7 = 22/7\) benyttet allerede af Archimedes, og \[\begin{align*} [3,7,15,1] &= 3+\frac{1}{7+\frac{1}{15+\frac{1}{1}}}\\ &=3+\frac{1}{7+\frac{1}{16}}\\&=3+\frac{16}{113}= \frac{355}{113}\end{align*}\] af Zu Chongzhu (430-501) i Kina. Feljene er mindre end \(1/15 \cdot (1/7)^2\), hhv. \(1/292 \cdot (1/113)^2\).

Kommentarer

Kommentarer til artiklen bliver synlige for alle. Undlad at skrive følsomme oplysninger, for eksempel sundhedsoplysninger. Fagansvarlig eller redaktør svarer, når de kan.

Du skal være logget ind for at kommentere.

eller registrer dig