Redaktion og opdatering af indholdet på denstoredanske.dk er indstillet pr. 24. august 2017. Artikler og andet indhold er tilgængeligt i den form, der var gældende ved redaktionens afslutning.

  • Artiklens indhold er godkendt af redaktionen

kompleks analyse

Oprindelig forfatter CBer Seneste forfatter Redaktionen

kompleks analyse, den del af matematisk analyse, der omhandler funktioner af en eller flere komplekse variable, dvs. variable, hvis værdier er komplekse tal.

Funktioner af én variabel

Allerede Euler betragtede de elementære funktioner, fx sin x, for komplekse værdier af den variable x (jf. Eulers formel), men en egentlig teoridannelse blev først givet af Cauchy i 1820'erne og udbygget af Riemann og Weierstrass. Det grundlæggende begreb i kompleks analyse er en holomorf (dvs. differentiabel) funktion f (z) defineret for z i et område G af den komplekse plan C. Et område er en åben, sammenhængende delmængde. Hvis f ikke er konstant, er billedmængden igen et område i den komplekse plan. En injektiv holomorf funktion er en konform afbildning.

Holomorfe funktioner har meget specielle egenskaber, hvad der betyder, at kompleks analyse omfatter helt andre problemstillinger end den reelle analyse. I teoriens udvikling er Cauchys integralsætning fundamental. Af denne følger Cauchys integralformel, der fastlægger en holomorf funktion i et område ved funktionsværdierne på områdets rand.

Annonce

En holomorf funktion antager sit numeriske maksimum på randen af området. Dette resultat kaldes maksimumprincippet. Der gælder også den overraskende identitetssætning: To holomorfe funktioner i et område er identiske, blot de stemmer overens på et selv nok så lille kurvestykke.

En holomorf funktion, der ikke er identisk lig nul, har højst tælleligt mange nulpunkter, som alle er isolerede i den forstand, at der i en tilpas lille cirkelskive omkring et nulpunkt ikke findes andre nulpunkter.

Meromorfe funktioner. Ved at betragte kvotienter af holomorfe funktioner i et område når man til klassen af meromorfe funktioner. De udgør et legeme i algebraisk forstand. Meromorfe funktioner har ikke andre singulariteter end poler. Cauchys integralsætning blev udvidet af Cauchy til meromorfe funktioner i residuesætningen: Integralet af en meromorf funktion langs en simpel lukket kurve orienteret mod uret er lig med 2πi multipliceret med summen af residuerne for de poler, der ligger inden for kurven.

De elliptiske funktioner, som blev intenst studeret i sidste halvdel af 1800-t., kan karakteriseres som dobbeltperiodiske meromorfe funktioner defineret i hele den komplekse plan.

Riemannflade. Ved udvidelse af funktioner af en reel variabel til områder i den komplekse plan støder man ind i det problem, at funktionerne kan blive flertydige, fx 191619.301.jpg. Riemann løste problemet ved analytisk fortsættelse til det, man i dag kalder funktionens Riemannflade. Riemanns idéer var vagt formulerede, og først i begyndelsen af 1900-t. nåede man til en tilfredsstillende formulering.

Hele funktioner. Funktioner, der er holomorfe i hele den komplekse plan, kaldes hele funktioner. Weierstrass fandt en faktorisering af hele funktioner i analogi med den velkendte opløsning af polynomier i et produkt af førstegradsfaktorer. En hel funktion har en orden, dvs. et tal mellem 0 og ∞, som beskriver funktionens vækst, når den variables numeriske værdi bliver uendelig stor. Fx har polynomier orden 0, funktionen exp(zn) har orden n, mens exp(exp(z)) har uendelig orden. Der er en nøje sammenhæng mellem en hel funktions orden og dens nulpunktsfordeling, bl.a. udtrykt i en vigtig formel af den danske matematiker J.L.W.V. Jensen.

Den franske matematiker E. Picard (1856-1941) viste i 1879, at en hel funktion, der ikke er konstant, antager alle komplekse værdier på nær højst én. Fx antager eksponentialfunktionen alle værdier forskellige fra 0.

Iteration. Siden ca. 1980 har studiet af iteration af holomorfe funktioner fået fornyet aktualitet, bl.a. via computergrafik. Den grundlæggende teori er udviklet af de franske matematikere G. Julia (1893-1978) og P. Fatou (1878-1929) i 1918-20. Se fraktal, Julia-mængde og Mandelbrotmængden.

Funktioner af flere variable

Det grundlæggende begreb er en holomorf funktion f (z1,...,zn) defineret for (z1,...,zn) i et område G i Cn med n > 1. Funktionen kaldes holomorf, hvis den er holomorf i hver variabel, når de øvrige variable fastholdes vilkårligt. Idet hver kompleks variabel svarer til to reelle variable, er funktionen altså defineret i et rum af mindst fire reelle dimensioner, og dermed kan teorien ikke anskueliggøres så nemt som i en variabel. Der viser sig helt nye fænomener i teorien for flere komplekse variable, som er udviklet i 1900-t. med vigtige bidrag af bl.a. H. Cartan, de tyske matematikere F. Hartogs (1874-1943) og H. Grauert (1930-2011) samt den japanske matematiker K. Oka (1901-78).

Referér til denne tekst ved at skrive:
Christian Berg: kompleks analyse i Den Store Danske, Gyldendal. Hentet 18. oktober 2019 fra http://denstoredanske.dk/index.php?sideId=108675