Redaktion og opdatering af indholdet på denstoredanske.dk er indstillet pr. 24. august 2017. Artikler og andet indhold er tilgængeligt i den form, der var gældende ved redaktionens afslutning.
Den Store Danske bliver fra efteråret 2020 opdateret af Foreningen lex.dk.

  • Artiklens indhold er godkendt af redaktionen

integralligning

Oprindelig forfatter JLut Seneste forfatter Redaktionen

integralligning, i matematik en funktionalligning, hvori den ubekendte funktion optræder under et integraltegn. Især lineære integralligninger, hvori den ubekendte funktion kun indgår i første potens, har mange anvendelser inden for fx randværdiproblemer i fysikken.

Lineære integralligninger inddeles i to typer: integralligninger af første slags:

56737.401.jpg

og af anden slags:

Annonce

56737.402.jpg

hvor φ er den ubekendte funktion, K og f er passende pæne, givne funktioner, og λ er en parameter. Funktionen K kaldes integralligningens kerne.

Inversionsformlerne til Fourier- og Laplacetransformationerne kan opfattes som løsningsformler til integralligninger. Andre specielle integralligninger blev studeret af N.H. Abel i 1820'erne og J. Liouville i 1832-46. Den første generelle teori for integralligninger blev imidlertid først udviklet i 1895-97 af V. Volterra. Han løste de lineære integralligninger af første og anden slags, dog med integrationsgrænserne a og x. Volterra bemærkede, at sådanne integralligninger kan opfattes som et grænsetilfælde af algebraiske ligningssystemer af formen 56737.301.jpg .

Inspireret af denne analogi indførte I. Fredholm i 1900 en determinant, D(λ), hørende til ligningen af anden slags og viste, at hvis D(λ) ≠ 0, har ligningen præcis én løsning. Hvis derimod D(λ) = 0, har den tilhørende homogene ligning (hvor f(x) = 0) en løsning forskellig fra nulløsningen. Man siger da, at 1/λ er en egenværdi. I 1904-10 videreførte D. Hilbert disse undersøgelser og viste bl.a., at hvis kernen er symmetrisk, dvs. K(x,y) = K(y,x), er der højst tælleligt mange egenværdier, og disse er reelle. Den svenske matematiker T. Carleman (1892-1949) gav en dybtgående analyse af integralligninger i 1923. Hans resultater fandt en mere generel og blivende form i J. von Neumanns teori for ubegrænsede operatorer på Hilbertrum. Funktionalanalysen udsprang i høj grad af teorien for integralligninger og generaliserer mange af dens resultater.

For de såkaldt singulære og ikke-lineære integralligninger findes ikke systematiske resultater i samme grad, men i 1900-t. er der udviklet særlige metoder til at behandle dem.

Referér til denne tekst ved at skrive:
Jesper Lützen: integralligning i Den Store Danske, Gyldendal. Hentet 27. januar 2020 fra http://denstoredanske.dk/index.php?sideId=98376