funktionalanalyse

Funktionalanalyse betegner et område af den matematiske analyse, der har sit udspring i studiet af funktionaler, dvs. funktioner defineret på rum af funktioner. I den klassiske matematiske analyse fokuseres der på undersøgelsen af individuelle funktioners eller talfølgers egenskaber og udviklingen af metoder til at opnå dette mål. I slutningen af 1800-t. voksede erkendelsen af, at man ved løsning af differential- og integralligninger burde se på funktioner som medlemmer af et rum defineret ved nogle specifikke egenskaber. Ved at studere selve rummet af funktioner eller talfølger kunne man ofte få vigtige informationer om de enkelte objekter, som det ellers ikke ville være muligt at få. De matematiske discipliner, som voksede ud af denne måde at anskue problemstillinger på, betegnes i dag under ét som funktionalanalyse.

Vigtigheden af funktionalanalyse blev i begyndelsen af 1900-t. understreget ved arbejder af matematikere som I. Fredholm, D. Hilbert, F. Riesz og V. Volterra. Udviklingen af den moderne topologi gav en ny dimension til området, idet mange af de betragtede rum kan pålægges en topologi, hvori funktionalerne er kontinuerte. Abstrakte definitioner på den type rum, hvori funktionalanalytiske metoder kan anvendes, blev i slutningen af 1920'erne givet af S. Banach og N. Wiener. Disse rum er vektorrum med en topologi, hvori de algebraiske operationer i vektorrummet er kontinuerte, og de betragtede funktionaler er lineære og kontinuerte. Særligt vigtige rum er normerede rum og specielt Hilbertrum. I denne opsætning er Hahn-Banachs sætning vigtig, idet den som konsekvens har, at der på ethvert normeret rum, som ikke er nulrummet, findes kontinuerte lineære funktionaler, som ikke er lig nulfunktionen.

I slutningen af 1920'erne påbegyndte J. von Neumann sine banebrydende undersøgelser af operatorer på Hilbertrum. Denne forskning danner grundlaget for udviklingen af teorien for operatoralgebraer.

Den moderne funktionalanalyse er en særdeles vigtig del af matematikken og har mange anvendelser også i andre dele af naturvidenskab; fx i teoretisk fysik, hvor mange fysiske modeller kan undersøges med funktionalanalytiske metoder.

Som eksempler på matematiske discipliner hørende under funktionalanalyse kan nævnes: Banachalgebrateori, distributionsteori, geometri i Banachrum og normerede rum, operatoralgebrateori, teorien for topologiske algebraer og vektorrum samt dele af harmonisk analyse og kompleks funktionsteori.