elliptisk funktion

Elliptisk funktioner er første gang defineret af C.G. Jacobi i 1829 som den omvendte funktion til et elliptisk integral. Sidstnævnte opstår naturligt ved beregning af ellipsens omkreds og buelængden af en sinuskurve, hvor det viser sig, at opgaven ikke kan løses med de elementære transcendente funktioner, altså eksponentialfunktioner, logaritmer og de trigonometriske funktioner. Legendre viste, at ethvert elliptisk integral kan reduceres til en sum af elementære funktioner og tre bestemte elliptiske integraler. Det første integral er på Legendre-Jacobi standardform med parameteren \(k < 1\) \[\int^z_0 \frac{d z}{\sqrt{\left(1-z^2\right)\left(1-k^2z^2\right)}} = \int^\phi_0 \frac{d \phi}{\sqrt{1-k^2 \sin ^2 \phi}} = w.\]

De to andre ligner, men er mere komplicerede. N.H. Abel og C.G. Jacobi fandt på at betragte den omvendte hertil samt at betragte denne som en kompleks funktion, som de opdagede var dobbeltperiodisk og meromorf.

Studiet af elliptiske funktioner var i 1800-t. en væsentlig drivkraft i udviklingen af den komplekse funktionsteori og spiller i dag en stor rolle i algebraisk geometri.