Redaktion og opdatering af indholdet på denstoredanske.dk er indstillet pr. 24. august 2017. Artikler og andet indhold er tilgængeligt i den form, der var gældende ved redaktionens afslutning.

  • Artiklens indhold er godkendt af redaktionen

dynamisk system

Oprindelig forfatter MELa Seneste forfatter Redaktionen

dynamisk system, matematisk begreb, der benyttes til at beskrive tidslige udviklinger, og som har sit udspring i de naturlove, som Newton opstillede til bestemmelse af legemers bevægelse. Som matematisk disciplin er dynamiske systemer tæt forbundet med de fleste hovedgrene af matematikken og i høj grad stimuleret af problemer fra naturvidenskab, bl.a. celest mekanik, hydrodynamik, statistisk mekanik og andre dele af matematisk fysik samt reaktionskemi og populationsdynamik.

Der er to hovedgrupper af dynamiske systemer: de kontinuerte og de diskrete. Et kontinuert dynamisk system er et system af sædvanlige første ordens differentialligninger
dx/dt = f(x),
hvor x = (x1,x2, ... ,xn) er et punkt i et n-dimensionalt rum, og f(x) = (f1(x), f2(x), ... ,fn(x)) den vektor, der angiver påvirkningen af systemet i punktet x. Hvis f også afhænger af t, bringes systemet på standardform ved at tilføje variablen xn+1 = t og differentialligningen dxn+1/dt = 1. Newtons bevægelsesligninger og andre systemer af sædvanlige differentialligninger af højere orden kan ligeledes bringes på standardform. Det er almindeligt at omtale den variable t som tiden. Billedmængden af løsningerne til differentialligningssystemet er kurver (kaldet baner) i rummet, parametriseret ved tiden, der siges at forløbe kontinuert. Løsningerne til et ikke-lineært differentialligningssystem er ofte umulige at bestemme eksplicit; de er implicit givet gennem vektorfeltet f.

Et diskret dynamisk system er bestemt ved gentagen iteration af en given afbildning F. Banerne er punktfølger på formen p0 = p (startpunktet), p1 = F(p0), ... ,pk = F(pk-1), ... . Det k-te punkt i følgen bestemmes således direkte ud fra værdien af det foregående. Tiden er diskret og angives ikke længere ved t, men ved de hele tal 0, 1, ... , k, ... .

Et kontinuert dynamisk system i et n-dimensionalt rum kan give anledning til et diskret dynamisk system i et rum af dimension n−1 ved at definere en såkaldt Poincaré-afbildning på et tværsnit til en periodisk bane. En sådan afbildning er injektiv. Enhver numerisk metode til bestemmelse af approksimerede løsninger til et kontinuert dynamisk system er også en diskretisering af problemet. Det følger af topologiske overvejelser, at kontinuerte dynamiske systemer kun kan være kaotiske, hvis rummets dimension er mindst tre, og diskrete dynamiske systemer givet ved iteration af en injektiv afbildning kun, hvis rummets dimension er mindst to. Et ikke-lineært, ikke-injektivt diskret dynamisk system af blot én reel variabel kan være kaotisk. Funktioner på formen fλ(x) = λx(1−x) for specielle værdier af λ udgør de simpleste eksempler på kaotiske systemer.

Annonce

Den moderne teori for dynamiske systemer blev stærkt udbygget i slutningen af 1800-t. med H. Poincarés kvalitative undersøgelser af løsninger til differentialligningssystemer, der ikke kan løses eksplicit (fx trelegemeproblemet). Dette blev optakten til topologisk dynamik, der fokuserer på topologiske egenskaber ved løsningerne til et dynamisk system defineret på en vilkårlig differentiabel mangfoldighed. Særlig interessant er langtidsopførslen, den asymptotiske opførsel, af banerne. En bane gennem et punkt kaldes stabil, hvis alle baner gennem punkter tilstrækkeligt tæt på punktet forbliver tæt på den oprindelige bane. Et dynamisk system har en mængde A som attraktor, hvis alle baner, der begynder i A, forbliver i A, og alle baner, der begynder tilstrækkeligt tæt på A, nærmer sig A asymptotisk, dvs. for tiden gående mod uendelig. For en strange attraktor afviger dynamikken dramatisk fra de simple attraktorer, idet dynamikken på attraktoren er kaotisk (se kaos) og må beskrives statistisk. Som mål for kompleksiteten kan anvendes såkaldte Ljapunov-eksponenter eller entropi. I ergodeteori fokuserer man netop på målteoretiske og statistiske egenskaber ved løsningerne.

Andre grene af dynamiske systemer omfatter Hamilton-dynamik (der udnytter symplektisk geometri), herunder specielt KAM-teorien, opkaldt efter de russiske matematikere Andrej N. Kolmogorov og Vladimir I. Arnold samt den tyske matematiker Jürgen Moser (1928-99); teorien spiller en vigtig rolle i kaosteorien for konservative systemer. I symbolsk dynamik studerer man diskrete dynamiske systemer i rum af uendelige strenge af symboler (fx 0,1-strenge) under iteration af skift-afbildningen. I holomorf dynamik studerer man diskrete dynamiske systemer i rum af komplekse variable under iteration af holomorfe funktioner.

Store computerberegninger spiller en væsentlig rolle i den nyere udvikling af teorien for dynamiske systemer, ikke mindst i forbindelse med intervalaritmetik, hvor man systematisk kontrollerer de afrundingsfejl, der begås ved beregning på computer. Faktisk bygger det første bevis for, at Lorenz-attraktoren virkelig er en strange attraktor, på intervalaritmetik. Dette blev bevist i 1998 af den britisk-svenske matematiker Warwick Tucker (f. 1970).

Det optimale mål i studiet af et dynamisk system er at forstå systemets globale struktur, dvs. den kvalitative struktur af samtlige baner. To dynamiske systemer kaldes topologisk ækvivalente, hvis der findes en kontinuert afbildning, der afbilder banerne af det ene system på banerne af det andet, og vice versa.

Betegnelsen dynamisk system blev indført af Stephen Smale i 1960'erne og har slået an siden da. Han videreudviklede bl.a. teorien for robuste systemer, der også kaldes strukturelt stabile systemer, et begreb, der blev indført i 1930'erne af de russiske matematikere Aleksandr A. Andronov (1901-52) og Lev S. Pontrjagin. Et dynamisk system kaldes strukturelt stabilt, hvis alle perturberede systemer tilstrækkeligt tæt på det givne system er topologisk ækvivalente med dette. Smale og også den russiske matematiker Dmitrij V. Anosov (1936-2014) viste bl.a., at systemer med kompliceret banestruktur kan være strukturelt stabile. Dette gælder fx Smales såkaldte hestesko, der er et eksempel på et kaotisk diskret dynamisk system. Dette eksempel spiller en vigtig rolle, idet mange kaotiske dynamiske systemer netop indeholder et delsystem af hestesko-typen, og den kaotiske opførsel faktisk er påvist som en konsekvens heraf. Den kaotiske del af systemet er desuden topologisk ækvivalent med et Bernoulli-skift (i to symboler), et af de grundlæggende eksempler inden for symbolsk dynamik.

I en parametriseret familie af dynamiske systemer er det optimale mål at forstå ikke blot den kvalitative struktur af det enkelte dynamiske system, men også parameterrummets struktur svarende til dels en inddeling i områder med topologisk ækvivalente dynamiske systemer, dels en markering af bifurkationsmængden, dvs. mængden af de dynamiske systemer, der ændres kvalitativt ved en ændring af parametrene. En beskrivelse og klassifikation af strukturelt stabile dynamiske systemer i al almindelighed eller blot i et tredimensionalt rum samt en beskrivelse og klassifikation af mulige bifurkationer er ikke inden for rækkevidde foreløbig.

Både i 1994 og i 1998 blev en af Fields-medaljerne i matematik givet for banebrydende arbejder inden for dynamiske systemer, i 1994 til den franske matematiker Jean-Christophe Yoccoz (f. 1957) og i 1998 til den canadiske matematiker Curtis McMullen (f. 1958).

Læs mere om dynamiske systemer.

Referér til denne tekst ved at skrive:
Mogens Esrom Larsen: dynamisk system i Den Store Danske, Gyldendal. Hentet 22. august 2019 fra http://denstoredanske.dk/index.php?sideId=67455