Differentialligning. Runge-Kutta-metoden af 2. orden tager højde for, at \(P_1\), som findes ud fra tangenthældningen i \(P_0\), ligger under kurven (dvs. at \(\Delta y_1\) er for lille). Fra \(P_1\) er tilvæksten \(\Delta y_2\), som er større end \(\Delta y_2\). Tilvæksten ud fra \(P_0\) bestemmes derfor som middeltallet af \(\Delta y_1\) og \(\Delta y_2\), hvilket giver punkt \(Q_1\), der ligger nærmere løsningskurven end \(P_1\); den videre beregning fortsætter derefter på samme måde ud fra \(Q_1\).

.

Ofte kan differentialligninger ikke løses ved at adskille de variable, eller adskillelsen fører til integraler, der ikke lader sig løse. I så fald kan numeriske løsningsmetoder anvendes.

Eulers polygonskridtsmetode

At løse den ordinære første ordens differentialligning \(u' = f(t,u)\) vil sige at søge den løsningskurve \(u(t)\) til ligningen, der går gennem et punkt \(P_0 = (t_0, u_0)\). Differentialligningen fastlægger løsningskurvens tangentretning i ethvert punkt som \((1, u')\). Det er derfor nærliggende at tilnærme kurven ved et stykke af tangenten i \(P_0\). Gås et skridt \(h\) (på \(t\)-aksen) i tangentens retning, fås et nyt punkt \(P_1 = (t_1, u_1)\), hvor \(t_1 = t_0 + h, \ u_1 = u_0 + hu_0'\) og \(u_0' = f(t_0, u_0).\) Punktet \(P_1\) vil normalt ikke ligge på den søgte løsningskurve, men hvis \(h\) vælges så lille, at kurven på det pågældende stykke er næsten sammenfaldende med tangenten, bliver fejlen beskeden. Fra \(P_1\) fortsættes i skridt af længden \(h\) til \(P_2 = (t_1+h, u_1+hu_1')\), hvor \(u_1' = f(t_1,y_1),\) dvs. i andet skridt gås frem efter tangenten i \(P_1\) osv. Løsningen til differentialligningen bliver altså et sæt af differensligninger, fx \(u^{i+1}-u^i = hf\left(t_i, u^i\right)\). Efterhånden som der tages flere skridt, bliver afvigelsen større og større. For at opnå rimelig nøjagtighed ved Eulers polygonskridtsmetode må man derfor gøre skridtene meget små, hvilket er besværligt og tidsrøvende selv ved beregning på en computer. Man har derfor udarbejdet bedre tilnærmelsesmetoder.

Runge-Kutta-metoder

Runge-Kutta-metoder ((efter tyskerne C. Runge (1856-1927) og M.W. Kutta (1867-1944)) er et eksempel på approksimationsmetoder til forbedring af Eulers polygonskridtsmetode. Løsning til metoden af 4. orden er givet ved \(u^{i+1}=u^i + \frac{1}{6} h(k_1+2k_2+2k_3+k_4)\) hvor \(k_1, \ k_2, \ k_3\) og \(k_4\) er tangenthældningerne i fire punkter, som bestemmes successivt. I denne metode aftager fejlen proportionalt med fjerdepotensen af skridtlængden \(h\), når denne går mod nul. Metoden er meget anvendelig og robust over for vanskelige opgaver, og den bruges ofte i matematikprogrammer som standardprogram.

En forbedring til ikke for "ondskabsfulde" problemer består i en Richardson-ekstrapolation af flere på hinanden følgende løsninger, foretaget over et stort interval med forskellige skridtlængder, \(h, h/2, h/4, ..., h/2^n\). Hertil kan bruges Runge-Kutta eller en anden metode, der mindst er konsistent af 2. orden. Processen afsluttes med en ekstrapolation til \(n=\infty\), altså en teoretisk skridtlængde på nul. Denne metode kaldes Bulirsch-Stoers-metode (1980) og er nok den mest effektive, man kendte midt i 1990'erne.

Partielle differentialligninger

Partielle differentialligninger løses ved at erstatte den søgte funktion af to eller flere variable af et punktgitter. Derudover kan man approksimere løsningen med linearkombinationer af kendte funktioner, fx sådanne, der løser differentialligningen, men ikke tilfredsstiller randbetingelserne. Man kan gå et skridt videre og omdanne differentialligningen til en integralligning og søge linearkombinationer af givne pæne funktioner, så en sum af integralafvigelse og randafvigelse bliver minimeret. Dette kaldes en elementmetode efter de anvendte simple funktioner, elementerne, hvilket er grundlaget for finite element metoden.

Læs mere i Den Store Danske

Kommentarer

Kommentarer til artiklen bliver synlige for alle. Undlad at skrive følsomme oplysninger, for eksempel sundhedsoplysninger. Fagansvarlig eller redaktør svarer, når de kan.

Du skal være logget ind for at kommentere.

eller registrer dig