determinant

Determinant er en talværdi der er defineret for en \(n \times n\) matrix , dvs. et kvadratisk skema af tal, der er opskrevet i \(n\) rækker og \(n\) søjler. Hvis \(a_{ij}\) betegner det tal, der står i \(i\)'te række og \(j\)'te søjle, er determinanten \(\text{det}(a_{ij})\) defineret som summen af alle led af formen \(\pm a_{1j_1}a_{2j_2}\dots a_{nj_n}\) hvor \(j_1, j_2, ..., j_n\) betegner en vilkårlig rækkefølge ( permutation ) af tallene \(1,2,...,n\), og fortegnet plus eller minus anvendes, eftersom permutationen er lige eller ulige. En permutation kaldes lige eller ulige, hvis den fremkommer af \(1,2,...,n\), ved et lige eller ulige antal successive ombytninger af to tal. En determinant har \(n!\) led. For \(n=2\) er der kun to permutationer af \(\{1, 2\}\), nemlig \(\{1, 2\}\) og \(\{2, 1\}\), som er henholdsvis lige og ulige, og der gælder således \[\text{det}\left(\begin{matrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22}\end{matrix}\right) = a_{11}a_{22} – a_{12}a_{21}.\]

For \(n=3\) har determinanten seks led. Når \(n\) er stor, er definitionen uegnet til numerisk beregning, og andre metoder må tages i brug. Determinanter blev indført i forbindelse med løsning af \(n\) lineære ligninger med \(n\) ubekendte af G.W. Leibniz (1693) og G. Cramer (1704-52) (Cramers regel, 1750).

En systematisk udvikling af determinanternes teori blev først givet af A.L. Cauchy (1812), der bl.a. viste produktreglen: Determinanten af et produkt af to matricer er produktet af deres determinanter.

I lineær algebra er determinanter et vigtigt teoretisk hjælpemiddel, fordi en lineær afbildning i et \(n\)-dimensionalt vektorrum er en bijektion, netop hvis determinanten af den tilhørende matrix er forskellig fra \(0\).

Determinanter af matricer med uendelig mange rækker og søjler blev indført af H. Poincaré (1886) og blev udnyttet ved studiet af integralligninger af I. Fredholm.