Redaktion og opdatering af indholdet på denstoredanske.dk er indstillet pr. 24. august 2017. Artikler og andet indhold er tilgængeligt i den form, der var gældende ved redaktionens afslutning.

  • Artiklens indhold er godkendt af redaktionen

dynamisk system

Oprindelig forfatter MELa Seneste forfatter Redaktionen

dynamisk system, system bestående af én eller flere funktioner af en variabel, der kan opfattes som tiden. Systemets udvikling styres af kræfter, der kan være indre (afhængige af funktionernes løbende værdier) eller ydre (givet ved på forhånd kendte funktioner). Forbilledet er Newtons beskrivelse af himmelmekanikken som løsning til differentialligninger udledt af gravitationsteorien. Derved gav han Keplers love om planetbevægelserne en dynamisk fremstilling med kun indre kræfter.

I de følgende århundreder, med Laplace som den fremmeste fortaler, forestillede man sig, at kunne man blot udføre beregningerne, ville man kunne forudsige al bevægelse til evig tid ved at løse et system af differentialligninger uden ydre påvirkninger. H. Poincaré indså i 1890'erne, at man ikke kunne angive løsningerne til dynamiske systemer ved kendte funktionsudtryk generelt, hvorfor man må forsøge med numeriske metoder eller de af ham opfundne topologiske metoder. Som et eksempel på de første løste Elis Strömgren i 1925 et trelegemeproblem som fx Solen, Jorden og Månen, hvilket dengang krævede 56 mands indsats med håndregning i 15 år.

Poincaré indledte sit topologiske studium med at finde singulariteter (konstante løsninger til ligningerne) til systemet og periodiske løsninger (løsninger, hvis banekurve er lukket). Singulariteterne førte umiddelbart til indførelse af stabilitetsbegrebet. Hvis alle løsninger bevæger sig hen mod singulariteten, kaldes den en attraktor, og systemet betegnes stabilt. Hvis alle løsninger bevæger sig væk fra singulariteten, kaldes den en repellor, og hvis begge adfærd forekommer, kaldes den et saddelpunkt. Man kan tænke på et landskab i regnvejr; bjergtoppene er repellorer, dalbundene attraktorer, mens passene er saddelpunkter. Regndråber på højderyggen bevæger sig til saddelpunktet og forbliver der af ubeslutsomhed om, til hvilken side de skal vælge at falde — i hvert fald i den matematiske teori. Tilsvarende kan periodiske løsninger være tiltrækkende eller frastødende for naboløsninger.

Annonce

Men disse simple adfærd giver ikke nogen udtømmende beskrivelse af fænomenerne. I nogle tilfælde bevæger løsningerne sig hid og did overalt i løsningsrummet, mens de i andre nærmer sig kurver, der næsten er periodiske. Man har opdaget, at selv forholdsvis simple systemer har løsninger, der forbliver inden for et begrænset område uden at danne lukkede kurver. Samtidig kan det forekomme, at alle andre løsninger nærmer sig til det nævnte område. Et sådant område kaldes en strange attractor; de berømteste er Lorenz-attraktoren (1963) og Rößler-attraktoren (1976); den første opstod i forbindelse med modeller for vejrudsigten, mens den anden kom som et forsøg på at finde en strange attractor med så enkle dynamiske ligninger som muligt. Disse attraktorer fortjener betegnelsen "besynderlige", da de som oftest viser sig at være fraktaler.

Inden for attraktorerne udviser løsningerne den såkaldte kaotiske adfærd, dvs. at nogle løsninger kommer rundt i hele området, og at to løsninger, der til en vis tid løber tæt sammen, altid senere kommer langt fra hinanden. Det er den sidste egenskab, der gør vejrprognoser over længere tid så upålidelige. Den praktiske fortolkning er den, at begyndelsesbetingelserne skal bestemmes med en uopnåelig nøjagtighed, for at forudsigelsen når ud over en vis tid. Man analyserer disse løsninger ved at lægge et tværsnit gennem en løsning og bestemme punktfølgen, der opstår, når løsningen senere passerer gennem snittet. Et sådant dynamisk system er diskret, idet man kun ser på hændelserne til spredte tider. Sådanne simple dynamiske systemer, som blot består i iteration af en simpel funktion, kendes fra utallige anvendelser. I disse systemer er tiden fortolket som antallet af iterationer. De systemer, der fås af lineære funktioner, opfører sig ikke meget anderledes end de lineære differentialligninger, mens de, der fås af ikke-lineære funktioner, kan give anledning til kaotisk opførsel allerede ved én funktion.

Dynamiske systemer finder også anvendelse i biologi og økonomi, fx de berømte Lotka-Volterra-ligninger fra 1920'erne. Disse beskriver udviklingen i populationsstørrelserne hos to arter, der på en eller anden måde påvirker hinanden som fx rov- og byttedyr. Ligningerne har periodiske løsninger: Med få rovdyr stiger byttedyrenes antal pga. den lave dødelighed, og med mange byttedyr er der resurser til rovdyrene, som formeres op og dermed reducerer byttedyrenes antal, indtil der er så få byttedyr, at nogle af rovdyrene dør af sult, hvorefter antallet af byttedyr igen stiger. I økonomi er prismekanismen et simpelt dynamisk system, idet prisen fastsættes, så hele produktionen kan afsættes og samtidig påvirker beslutningen om næste års produktion. En stor produktion til lave priser følges derfor af en lav produktion til høje priser og omvendt. Igen en cyklisk bevægelse, der dog sjældent er periodisk, men enten nærmer sig en ligevægtstilstand eller svinger mere og mere. I 1990'erne har man også i økonomi interesseret sig for modeller, der har kaotiske løsninger.

Se også dynamiske systemer (hovedgrupper).

Referér til denne tekst ved at skrive:
Mogens Esrom Larsen: dynamisk system i Den Store Danske, Gyldendal. Hentet 19. april 2019 fra http://denstoredanske.dk/index.php?sideId=232245