relation

Relation, i logik og matematik en sammenhæng mellem to eller flere objekter, fx 'a er barn af b', for naturlige tal 'a går op i b', for punkter på en linje 'a ligger mellem b og c'. I det følgende omtales kun binære eller dyadiske relationer, hvor objekttallet er to. I matematikken fæster man sig ved udstrækningen, dvs. ved, hvilke par der står i den pågældende relation. En relation R fra en mængde A til en mængde B opfattes således som en mængde af par (a,b) af elementer a og b fra hhv. A og B, dvs. som en delmængde af produktmængden A×B (se mængdealgebra). Når A = B, taler man om en relation i A. At a står i relationen R til b, skrives aRb.

En relation R har en omvendt, R⁻¹, givet ved, at bR⁻¹a, når aRb. Og relationer kan sammensættes. For R = 'barn af', er R⁻¹ = 'mor eller far til'. Sammensætning af R med sig selv giver 'barnebarn af'; R sammensat med R⁻¹ giver '(halv)søskende indbyrdes'.

En funktion eller afbildning f af A ind i B kan opfattes som en relation R fra A til B, hvor der til ethvert a∈A findes netop ét b∈B, hvor aRb. Dette b kaldes funktionsværdien eller billedet og betegnes f(a), og aRb kan i så fald skrives f(a) = b.

En relation R i en mængde A kaldes refleksiv, hvis xRx for alle x∈A; symmetrisk, hvis yRx, når xRy for alle x,y∈A; antisymmetrisk, hvis xRy udelukker yRx for alle x,y∈A, hvor x≠y, dvs. at hvis der for alle x,y∈A gælder xRy såvel som yRx, er x=y, samt transitiv, hvis xRz, når xRy og yRz for alle x,y,z∈A.

Vigtige relationstyper er ækvivalensrelation og ordning (se ordnet mængde). De defineres ved kravene refleksivitet og transitivitet samt hhv. symmetri og antisymmetri.