Polynomium, i matematik et udtryk, der er en sum af flere led, oftest led af formen axi. Symbolet x kaldes den variable, tallet a kaldes leddets koefficient, og eksponenten i kaldes leddets grad. Idet leddene ordnes efter grad, får det almindelige polynomium formen f(x) = anxn+an-1xn-1+ ∙∙∙ +a1x+a0.

Faktaboks

Etymologi
Ordet polynomium er latin, af poly- og afledn. af latin nomen i betydningen 'led, term'; undertiden sat i forbindelse med gr. nome 'fordeling'.

Nulpolynomiet er det polynomium, hvis koefficienter alle er nul. For alle andre polynomier defineres graden som den største grad af leddene aixi med ai ≠ 0.

Et polynomium f(x) bestemmer en funktion og løsningerne til ligningen f(x) = 0 (se algebraisk ligning) siges at være polynomiets rødder eller nulpunkter (i x). Fx har polynomiet f(x) = x3−2x2x+2 grad 3 og rødderne x = −1, 1 og 2. I almindelighed er antallet af rødder højst lig med polynomiets grad. Alle reelle polynomier af ulige grad har en reel rod; algebraens fundamentalsætning udsiger, at ethvert polynomium af positiv grad har en rod blandt de komplekse tal.

Et polynomium f(x) har tallet t som rod, hvis og kun hvis der findes en fremstilling af f(x) som et produkt, f(x) = (xt)∙g(x), hvor den ene faktor er førstegradspolynomiet xt. Når f(x) har grad n ≥ 1, følger det af algebraens fundamentalsætning, at der findes en fremstilling f(x) = a(xt1) ∙∙∙ (xtn), hvor t1,... ,tn er de komplekse rødder i f(x). Hvis en faktor xti hér forekommer mindst to gange, siges ti at være multipel rod i f(x).

Polynomiumsringe

Addition og multiplikation af to polynomier fører igen til polynomier, og samtlige polynomier (i én variabel) med reelle koefficienter udgør en ring, oftest betegnet R[x]. Tilsvarende udgør de komplekse polynomier en ring, betegnet C[x].

Flere variable

I et polynomium kan indgå mere end én variabel. Et polynomium i tre variable x,y,z er således et udtryk, der er en sum af led af formen axiyjzk. Summen i+j+k kaldes leddets grad. Polynomiets grad er den højeste grad for noget led, der indgår i dette. Således er x2+y2+z2−1 et polynomium af grad 2; dets nulpunkter udgør en kugleflade, i dette tilfælde for enhedskuglen, dvs. kuglen med centrum i (x,y,z) = (0,0,0) og radius 1.

Kommentarer

Kommentarer til artiklen bliver synlige for alle. Undlad at skrive følsomme oplysninger, for eksempel sundhedsoplysninger. Fagansvarlig eller redaktør svarer, når de kan.

Du skal være logget ind for at kommentere.

eller registrer dig