Lie-algebra

Lie-algebra er en algebraisk struktur, hvori multiplikationen ikke er associativ, men i stedet antages at opfylde alternative betingelser. For to elementer \(a,b\) i en Lie-algebra betegnes produktet sædvanligvis \([a,b]\). Betingelserne kan udtrykkes ved ligningerne \([a,[b,c]]+[b,]c,a]]+[c,[a,b]] = 0\) og \([a,a] = 0\) for alle elementer \(a,b,c\) i Lie-gruppen. Den første ligning kaldes også Jacobis identitet.

De hyppigst forekommende Lie-algebraer kan opfattes som underrum af visse komplekse matricer, hvor Lie-produktet er defineret som kommutatoren \([A,B] = AB-BA\). De simple af disse algebraer blev klassificeret omkring 1900. Der er fire uendelige familier og yderligere fem exceptionelle algebraer. Lie-algebraer optræder naturligt i forbindelse med vektorfelter på differentiable mangfoldigheder, især i studiet af Lie-grupper.