partition

Partition betyder i matematik det at skrive et naturligt tal som en sum af andre, evt. med visse begrænsninger. Fx siger Goldbachs formodning, at ethvert lige tal kan skrives som en sum af to primtal.

Partitioner uden begrænsninger på de indgående summander har en særlig interesse i talteorien. Der er syv sådanne partitioner af tallet 5: 5, 1+4, 2+3, 1+1+3, 1+2+2, 1+1+1+2, 1+1+1+1+1. Antallet af partitioner af tallet \(n\) kaldes \(p(n)\).

Denne funktion blev studeret af Leonhard Euler, der fandt en frembringende funktion for den:

\[ \prod_{m=1}^{\infty}\frac{1}{1-x^m}=\sum_{n=0}^{\infty}p(n)x^n\]

samt en rekursionsformel.

Antallet af partitioner vokser meget hurtigt med n; G.H. Hardy og Srinivasa Ramanujan fandt i 1917, at for store \(n\) er \(p(n)\)'s asymptotiske værdi

\[\frac{e^{\pi\sqrt{\frac{2n}{3}}}}{4\sqrt{3}n}\]

Hans Rademacher (1892-1969) fandt i 1937 en eksakt rækkeudvikling med den asymptotiske værdi som det første led. Der blev i 1900-tallet blevet udviklet en omfattende teori for partitioner.