fejl (matematisk begreb)

Målefejl kan behandles med udjævningsregning. Er der fx et påfaldende spring i nogle måleresultater, approksimerer man det afvigende samt de fire nærmeste, to på hver side, med en parabel. Udjævningen består i at erstatte den tvivlsomme værdi med parablens.

Trunkeringsfejl opstår ved tilnærmelse af en transcendent funktion, fx \(e^x \), med en rational approksimation, typisk ved afskæring af en uendelig række, heraf navnet. Fx tilnærmelsen til tallet \(e = 2,718.281.828... \approx \sum^\infty_{n=0} \frac{1}{n!}\). For \(n = 0,...,8\) fåes afsnittet af rækken \[e\approx 1 + 1 + \frac{1}{2} +\frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \frac{1}{120} + \frac{1}{720} + \frac{1}{5040} \approx 2,718.254.\]

Trunkeringsfejlen kan vurderes ved \[\sum^\infty_{n=8} \frac{1}{n!} < \frac{1}{8!} \sum^\infty_{n=0} \left(\frac{1}{9}\right)^n = \frac{1}{35840} \approx 0,000028\]

Afrundingsfejl opstår ved tilnærmelse af et tal med et andet, fx et der kan skrives i en computer. Hvis man regner videre på \(e\) med repræsentanter med fire decimaler, fås \(e \approx 1,0000 + 1,0000 + 0,5000 + 0,1667 + 0,0416 + 0,0083 + 0,0014 + 0,0002 = 2,7183\) Den samlede afrundingsfejl er \(0,2\), selvom de otte afrundinger kunne have givet fejlen \(0,004\). Afrundingsfejl har en naturlig tendens til at ophæve hinanden, så deres samlede størrelse ved addition af \(n\) led med \(95\%\) sandsynlighed er mindre end \(1,96 \cdot \sqrt{n/12}\). gange den ledvise fejl. Det giver en forventet fejl under \(0,0001\), men otte afrundinger er et lille tal i statistisk sammenhæng.

Ophobede fejl opstår, når der foretages mange beregninger med de tilnærmede værdier, fx ved løsning af differentialligninger eller større ligningssystemer. Det er da ønskeligt, at afrundingsfejlens bidrag til resultatet ikke vokser eksponentielt med antallet af manipulationer.

De mest elementære fejl er anvendelse af metoder, der tager differensen mellem to næsten lige store tal eller summen af to tal af meget forskellig størrelsesorden. I begge tilfælde går det meste af informationen tabt.