fraktal

I matematikken har man beskrevet disse fænomener siden slutningen af 1800-tallet. Eksempler er Osgoods kurve (1903) og von Kochs snefnug (1904). Disse kurver fremkommer ved, at man indbygger samme figur i mindre og mindre udgaver i den oprindelige; et linjestykke erstattes af en brudt linje med en bestemt facon. Den brudte linje består selv af linjestykker, som kan erstattes af brudte linjer i en reduceret udgave.

Vælges den brudte linje heldigt, vil en gentagelse af denne proces (se iteration) give en kurve, som er uendelig lang og har den egenskab, at en forstørrelse af et udsnit bliver identisk med hele kurven. Denne selvligedannethed (autohomoteti) er så karakteristisk, at visse forfattere begrænser brugen af ordet fraktal til sådanne figurer; det var dog ikke Mandelbrots tanke.

Iterationsmetoden er en væsentlig årsag til fraktalers popularitet, idet den er særdeles velegnet til udførelse på computer. Takket være computeres store regnehastighed har man været i stand til at undersøge mange fraktaler. Nogle, fx Mandelbrotmængden, er næsten selvligedannede på samme måde som de, der optræder i forbindelse med kaos (fx Julia-mængder og "figentræer").

Det er problematisk at sammenligne to fraktalers længder; er Norges kystlinje længere end Englands, hvis de begge principielt er uendelig lange? Matematisk set drejer det sig om at få indført et mål, som fortæller, at Osgoods kurve snor sig mere end von Kochs snefnug, og at Norges kyst er mere brudt end Englands. Dette mål blev defineret af Felix Hausdorff; inspireret af netop von Kochs og Osgoods kurver indførte han en generel dimension (1919), som ikke nødvendigvis er et helt tal.

Det var denne ikke-hele dimension, Mandelbrot refererede til med ordet fraktal. Hausdorff definerede en fraktal som en geometrisk figur, hvis topologiske dimension er mindre end dens Hausdorff-dimension (eller fraktale dimension). Den topologiske dimension svarer til det intuitive dimensionsbegreb (et punkt har dimensionen 0, en linje dimensionen 1, en plan figur dimension 2 og en rumlig dimension 3). Hausdorff-dimensionen tager derimod udgangspunkt i den betragtning, at alle figurer har mål 0 i en højere dimension; et punkt har ingen længde, en linje intet areal, og en plan figur intet rumfang. Hausdorff-dimensionen er den nedre grænse for de dimensioner, der giver figuren mål 0. For mange figurer er de to dimensioner identiske, men det gælder altså ikke fraktaler.

• geometri