tensoranalyse

Tensoranalyse er en gren af matematikken, der er opstået som en generalisation af vektoranalyse. En geometrisk vektor har både en størrelse (længde) og en retning og kan fx beskrive en kraft. I et tredimensionalt rum kan en vektor repræsenteres ved et sæt af tre tal, dens komponenter, som afhænger af, hvilket koordinatsystem man anvender; komponenterne ændrer sig (transformerer) efter faste regler ved fx drejninger af koordinatsystemet. Tilsvarende kan man definere en tensor som et talskema, hvor tallene, tensorens komponenter, transformerer efter bestemte regler under et koordinatskifte.

En tensor af orden r i et n-dimensionalt rum er et talskema med n^r komponenter. Hvis de transformerer efter tilsvarende regler som en vektor, kaldes tensoren kontravariant, og man skriver indices på komponenterne foroven: \(a^{i_1 \cdots i_r}\). En kovariant tensor af orden s har n^s komponenter \(a_{i_1 \cdots i_s}\) (med indices skrevet forneden), der transformerer som en såkaldt dual vektor (fx differentialet af en skalar). En tensor kan også være blandet af kontravariant orden r og kovariant orden s.

Tensoranalyse har stor betydning i fysikken, specielt i Einsteins almene relativitetsteori, ifølge hvilken masse (energi) får den firedimensionale rumtid til at krumme. Krumningsstørrelserne beregnes vha. den metriske tensor, som er en kovariant tensor af orden 2, og energien optræder i energi-impuls-tensoren; den fundamentale Einstein-ligning knytter de to tensorer sammen. Tensorer optræder også i den klassiske mekanik, fx som spændingstensorer, der beskriver spændingstilstande i faste stoffer.

Tensoranalysen blev grundlagt af G. Ricci-Curbastro omkring 1890. Han gav den første systematiske fremstilling i 1892 og videreudviklede teorien i samarbejde med sin elev Tullio Levi-Civita (1873-1941). Navnet tensoranalyse skyldes Einstein (1916).