reel analyse

Reel analyse betegner den del af matematisk analyse, der omhandler funktioner af en eller flere reelle variable, dvs. variable, hvis værdier er reelle tal. Reelle funktioner benyttes i mange videnskaber til at beskrive størrelser, der udviser variation.

I reel analyse er udviklingen gået i retning af at betragte funktioner med stadig mindre regularitet. Dette kan illustreres ved funktionsklasserne af hhv. analytiske, differentiable, kontinuerte og målelige funktioner, hvor hver klasse er mere omfattende end den foregående. Den reelle analyses udvikling følger således nøje funktionsbegrebets, se funktion. I kompleks analyse har tendensen været den modsatte, nemlig at søge resultater om specielle klasser af holomorfe funktioner.

Grunden til denne udvikling er behovet for funktionsklasser, som både er stabile over for matematiske operationer og fuldstændige i en præcis forstand (se Cauchyfølge). Sådanne egenskaber er nyttige ved matematiske eksistensbeviser.

Indtil midten af 1800-t. betragtedes næsten kun analytiske og differentiable funktioner. A.L. Cauchys tilgang til analysen byggede på klassen af kontinuerte funktioner, men denne klasse er ikke lukket under punktvis konvergens af funktionsfølger. K. Weierstrass omgik dette problem ved at indføre uniform konvergens, mens den franske matematiker René Baire (1874-1932) betragtede klassen af de funktioner, som er punktvis grænseværdi for en følge af kontinuerte funktioner.

I forbindelse med sin integralteori indførte H. Lebesgue klassen af målelige funktioner. Denne meget omfattende klasse er lukket under punktvis konvergens og har spillet en fundamental rolle i 1900-t.s reelle analyse.

I midten af 1900-t. viste det sig dog, at også klassen af målelige funktioner er for restriktiv inden for differentialligningsteori og harmonisk analyse, hvilket har givet anledning til bl.a. distributionsteori.