potentialteori

Potentialteori er en matematisk teori, der er motiveret af Newtons gravitationslov om massetiltrækning, men også kan anvendes på elektriske og magnetiske kræfter.

Det grundlæggende begreb er Newton-potentialet af en massefordeling (eller en elektrisk ladningsfordeling) i et område af rummet. Idealiseres massefordelingen som begrebet et mål \(\mu\) på \(\mathbb{R}\) (se målteori), er Newton-potentialet funktionen \[V(\boldsymbol{x}) = \int \frac{1}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|} d\mu(\boldsymbol{y},\] hvor \(|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|\) er afstanden mellem punkterne \(\boldsymbol{x}\) og \(\boldsymbol{y}\) og i \(\mathbb{R}^3\). Gradienten af potentialet med modsat fortegn, \(-\nabla V(\boldsymbol{x})\), angiver den kraft, hvormed en enhedsmasse i punktet \(\boldsymbol{x}\) tiltrækkes af massefordelingen \(\mu\). Potentialet er en harmonisk funktion uden for det område \(K\), hvor der er masse. Dvs. at \(V\) uden for \(K\) opfylder Laplaces differentialligning \(\delta V(\boldsymbol{x})= 0\), og derfor er potentialteori tæt forbundet med studiet af denne partielle differentialligning.

Elektrisk ladning vil fordele sig på overfladen af et ledende legeme, så potentialet er konstant i legemet. I 1840 gav Gauss et matematisk bevis for, at denne ligevægtsfordeling eksisterer og er den ladningsfordeling, som har mindst mulig energi.

Med udviklingen af Lebesgues integralteori og funktionalanalysen i 1900-t. har man fået metoder til en stringent behandling af potentialteorien. Ca. 1940 opdagedes en fundamental sammenhæng mellem potentialteori og brownske bevægelser, der har ført til gensidig påvirkning mellem potentialteori og teorien for stokastiske processer. Siden 1960'erne har forskellige aspekter af potentialteori været genstand for omfattende aksiomatisk behandling, hvorunder B. Fugledes teori for fint harmoniske funktioner har spillet en vigtig rolle.