Ortogonale polynomier er en klasse af polynomier, som spiller en vigtig rolle i approksimationsteori og numerisk analyse. En følge af polynomier \(p_0, p_1, ...\), hvor \(p_n\) har grad \(n\), kaldes ortogonale på intervallet \(I = ]a,b[\) med hensyn til \(w\), hvis \[\int^b_a p_m(x)p_n(x)w(x)dx = \begin{cases}k_n & \text { når } m=n, \\ 0 & \text { når } m \neq n .\end{cases}\]

Funktionen \(w\) kaldes vægtfunktionen, og den forudsættes positiv på intervallet \(I\). Ved fastsættelsen \[(f,g)_w = \int ^b_a f(x)g(x)w(x)dx\] defineres et skalarprodukt i Hilbertrummet af reelle, kvadratisk integrable funktioner med hensyn til \(w\). De ortogonale polynomier udgør et ortogonalt system i dette Hilbertrum, og \(p_n\) har normen \(\sqrt{k_n}\). Systemet kaldes normeret, hvis \(k_n = 1\) for alle \(n\). Ved at erstatte \(p_n\) med \(p_n / \sqrt{k_n}\) opnås et normeret system. Til en given vægtfunktion findes et normeret system af ortogonale polynomier, som er entydigt på nær fortegn.

Betydningen af ortogonale polynomier består i, at man kan approksimere en funktion \(f\) på intervallet \(I\) ved et endeligt antal led i rækken \[\sum^\infty_{n=0} a_n p_n, \text{ hvor } a_n = (f,p_n)_w / k_n\].

De første ortogonale polynomier, Legendre-polynomierne, blev studeret af A.M. Legendre i 1782 og har forbindelse til kuglefunktioner. De er ortogonale på intervallet \(I ]-1, 1[\) med \(w(x) = 1\) og \(k_n = 2/(2n+1)\). De klassiske ortogonale polynomier hører til intervallerne \(]-\infty, \infty[\), \(]0, \infty[\), og \(]-1, 1[\) og er opkaldt efter henholdsvis C. Hermite, E.N. Laguerre (1834-1886) og C.G. Jacobi. Disse polynomier er desuden løsninger til en differentialligning af anden orden af Sturm-Liouville-type. Legendre- og Tjebysjov-polynomierne er specielle Jacobi-polynomier.

Klassiske ortogonale polynomier
symbol navn vægtfunktion interval
\(H_n\) Hermite \(\exp (-x^2)\) \(]-\infty, \infty [\)
\(L_n^{(\alpha)}\) Laguerre x^\alpha e^{-x} \(]0, \infty [\)
\(P_n^{(\alpha, \beta)}\) Jacobi \((1-x)^\alpha (1+x)^\beta \(]-1, 1 [\)
\(T_n\) Tjebysjov \(1/\sqrt{1-x^2}\) \(]-1, 1 [\)
\(P_n\) Legendre \(1\) \(]-1, 1 [\)

Kommentarer

Kommentarer til artiklen bliver synlige for alle. Undlad at skrive følsomme oplysninger, for eksempel sundhedsoplysninger. Fagansvarlig eller redaktør svarer, når de kan.

Du skal være logget ind for at kommentere.

eller registrer dig