operatorteori

Operatorteori, matematisk teori, der omhandler operatorer mellem normerede rum.

I det følgende betragtes kun lineære operatorer. Der skelnes mellem begrænsede operatorer \(T\), der opfylder \(||Tx|| \leq c||x||\) for alle \(x\) med en passende konstant \(c\), og ubegrænsede operatorer, for hvilke en sådan ulighed ikke kan opfyldes. Differentialoperatorer er sædvanligvis ubegrænsede. For en begrænset operator kaldes den mindst mulige konstant \(c\) for operatornormen og betegnes \(||T||\).

Særlig vigtig er teorien for operatorer på Hilbertrum \(H\). Ved udnyttelse af skalarproduktet \((\cdot, \cdot)\) knyttes der til en (begrænset) operator \(T\) en adjungeret operator \(T^*\), således at \((Tx, y) = (x, T^*y)\). Hvis \(T=T^*\), kaldes Tselvadjungeret. En mere omfattende klasse udgøres af de normale operatorer \(T\), der opfylder \(TT^* = T^*T\). Et fundamentalt resultat i teorien, spektralsætningen for selvadjungerede operatorer, blev vist alment af J. von Neumann i 1930. Herudfra kan begrebet funktion af en operator defineres, og det kan afgøres, om en operator er en funktion af en anden selvadjungeret operator. Spektralsætningen er et vigtigt redskab, teoretisk og praktisk, da mange problemer fra fysik og ingeniørvidenskab kan beskrives ved en matematisk model, som indeholder selvadjungerede operatorer. Det er ikke muligt at klassificere de ikke-selvadjungerede operatorer.

Af de mange specielle egenskaber, der har været studeret, bør begreberne kompakt og isometri fremhæves. De kompakte, selvadjungerede operatorer har en ortonormal basis af egenvektorer, hvis tilhørende egenværdier konvergerer mod \(0\). De udnyttes meget i anvendt matematik. Strukturen af isometrier beskrives vha. kompleks funktionsteori.