integralregning

Integralregning er en matematisk kalkyle, som Leibniz udviklede i 1675 til bl.a. at bestemme arealer. Isaac Newton havde i årene 1665-1666 udviklet lignende idéer. G.W. Leibniz opfattede arealet under kurven \(cde\) (se figur) som en sum af infinitesimale rektangler med højde \(y\) og "uendelig lille" grundlinje \(dx\) og indførte skrivemåden \(\int y\:dx\) for denne sum.

Leibniz opdagede, at differentiation og integration er omvendte operationer, hvad vi nu udtrykker ved differential- og integralregningens hovedsætning. Derfor gik Johann Bernoulli i begyndelsen af 1700-tallet over til at definere integration som det omvendte af differentiation. Denne definition holdt, indtil A.L. Cauchy i 1823 definerede integralet af en funktion \(f\) på et interval \([a, b]\) ved hjælp af middelsummen

\[\sum_{i=1}^{n}f(t_i)(x_i-x_{i-1}),\]

hvor \(a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots< x_n = b\) er en inddeling af \([a,b]\) og \(t_i \in [x_{i-1},x_i]\). Cauchy, der satte \(t_i=x_{i-1}\), viste, at middelsummen for en kontinuert funktion konvergerer mod et fast tal, når inddelingen bliver finere og finere, og han definerede så det bestemte integral \(\int_{a}^{b} f(x)dx\) til at være dette tal. I 1854 generaliserede Bernhard Riemann Cauchys definition ved at anvende den på alle de funktioner, hvor middelsummen konvergerer (de såkaldte Riemann-integrable funktioner).